Để chứng minh rằng tất cả các số nguyên lớn hơn 2 đều là tổng của 3 số nguyên tố, ta sẽ chia chúng thành các trường hợp sau:

Trường hợp số nguyên n là số nguyên tố: Trong trường hợp này, ta có thể chọn 3 số nguyên tố bất kỳ có tổng bằng n.
Trường hợp số nguyên n là số chẵn khác 2: Trong trường hợp này, ta có thể chọn 3 số nguyên tố là 2 và 2 số nguyên tố khác sao cho tổng của chúng bằng n. Vì n là số chẵn, nên n - 2 cũng là số chẵn và có thể được biểu diễn bởi tổng của hai số nguyên tố, do đó ta có thể chọn hai số nguyên tố p và q sao cho p + q = n - 2. Vậy ta có thể chọn ba số nguyên tố là 2, p và q, và tổng của chúng bằng n.
Trường hợp số nguyên n là số lẻ khác 1: Trong trường hợp này, ta có thể chọn số nguyên tố 3 và hai số nguyên tố khác sao cho tổng của chúng bằng n. Vì n là số lẻ, n - 3 cũng là số lẻ và có thể được biểu diễn bởi tổng của hai số nguyên tố, do đó ta có thể chọn hai số nguyên tố p và q sao cho p + q = n - 3. Vậy ta có thể chọn ba số nguyên tố là 3, p và q, và tổng của chúng bằng n.
Vì tất cả các số nguyên dương lớn hơn 2 đều thuộc một trong ba trường hợp trên, nên ta có thể kết luận rằng tất cả các số nguyên dương lớn hơn 2 đều có thể biểu diễn bởi tổng của ba số nguyên tố.