Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a. Khi m = 4, đường thẳng (d) có dạng: y = -x + 4.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): $\frac{1}{2} x^{2} = - x + 4 \Leftrightarrow x^{2} + 2 x - 8 = 0$ (1)

PT (1) có $Δ^{'} = 1 + 8 = 9 \Rightarrow \sqrt{Δ^{'}} = 3$

PT (1) có hai nghiệm phân biệt : $[\begin{array}{l} x_{1} = - 1 - 3 = - 4 \\ x_{2} = - 1 + 3 = 2 \end{array}$

Với $x_{1} = - 4 \Rightarrow y_{1} = \frac{1}{2} . {(- 4)}^{2} = 8$

Với $x_{2} = 2 \Rightarrow y_{2} = \frac{1}{2} . {(2)}^{2} = 2$

Vậy, khi m = 4 thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ lần lượt là (-4; 8) và (2; 2)

b. Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): $\frac{1}{2} x^{2} = - x + m \Leftrightarrow x^{2} + 2 x - 2 m = 0$ (2)

PT (2) có $Δ^{'} = 1 + 2 m$

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì PT (2) phải có hai nghiệm phân biệt.

hay $Δ^{'} = 1 + 2 m > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{1}{2}$ (*)

Với ĐK (*) , gọi $x_{1}; x_{2}$ là hai nghiệm của PT (2).

Áp dụng định lí Viets, ta có : $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - 2 \\ x_{1} x_{2} = - 2 m \end{cases}$ (3)

Với $x = x_{1} \Rightarrow y_{1} = - x_{1} + m$

Với $x = x_{2} \Rightarrow y_{2} = - x_{2} + m$

Xét biểu thức : $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 5 \Leftrightarrow x_{1} x_{2} + (- x_{1} + m) (- x_{2} + m) = 5$

$\Leftrightarrow x_{1} x_{2} + x_{1} x_{2} - m (x_{1} + x_{2}) + m^{2} = 5 \Leftrightarrow 2 x_{1} x_{2} - m (x_{1} + x_{2}) + m^{2} = 5$ (4)

Thay (3) vào (4), ta được : $2 (- 2 m) - m (- 2) + m^{2} = 5 \Leftrightarrow m^{2} - 2 m - 5 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 + \sqrt{6} (t / m (*)) \\ m = 1 - \sqrt{6} (Loaïi) \end{array}$

Vậy, với $m = 1 + \sqrt{6}$ thì yêu cầu bài toán được thỏa mãn.

...Xem thêm

Answer 2