Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

b) Áp dụng bất đẳng thức ở phần a) ta có:

$\frac{1}{3 a + 2 b + c} = \frac{1}{3 a + 2 b + c} \leq \frac{1}{4} [\frac{1}{3 a} + \frac{1}{2 b + c}] (1)$

Chứng minh được với a; b; c>0 ta có $\frac{9}{a + b + c} \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \cdot$

Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:

$\frac{1}{4} [\frac{1}{3 a} + \frac{1}{2 b + c}] \leq \frac{1}{4} [\frac{1}{3 a} + \frac{1}{9} (\frac{2}{b} + \frac{1}{c})] = \frac{1}{4} (\frac{1}{3 a} + \frac{2}{9 b} + \frac{1}{9 c}) (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{1}{3 a + 2 b + c} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{3 a} + \frac{2}{9 b} + \frac{1}{9 c})$

Chứng minh tương tự ta được:

$\frac{1}{a + 3 b + 2 c} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{9 a} + \frac{1}{3 b} + \frac{2}{9 c}); \frac{1}{2 a + b + 3 c} \leq \frac{1}{4} (\frac{2}{9 a} + \frac{1}{9 b} + \frac{1}{3 c})$

Cộng theo vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta được:

$\frac{1}{3 a + 2 b + c} + \frac{1}{a + 3 b + 2 c} + \frac{1}{2 a + b + 3 c} \leq \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot 16 = \frac{8}{3}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b = c \\ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 16 \end{cases} \Leftrightarrow a = b = c = \frac{3}{16} .$

Vậy $\frac{1}{3 a + 2 b + c} + \frac{1}{a + 3 b + 2 c} + \frac{1}{2 a + b + 3 c} \leq \frac{8}{3}$ (đpcm)

...Xem thêm

Answer 2