Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

+ Tìm giá trị nhỏ nhất.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có: $\{\begin{matrix} a^{2} + b^{2} \geq 2 a b \\ b^{2} + c^{2} \geq 2 b c \\ c^{2} + a^{2} \geq 2 c a \end{matrix} \Rightarrow 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq 2 (a b + b c + c a)$

$\Rightarrow P = a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a = 9$

Dấu ‘=’ xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = b = c \geq 1 \\ a b + b c + c a = 9 \end{matrix} \Leftrightarrow a = b = c = \sqrt{3}$ .

+ Tìm giá trị lớn nhất.

Vì $\{\begin{matrix} a \geq 1 \\ b \geq 1 \\ c \geq 1 \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} (a - 1) (b - 1) \geq 0 \\ (b - 1) (c - 1) \geq 0 \\ (c - 1) (a - 1) \geq 0 \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} a b - a - b + 1 \geq 0 \\ b c - b - c + 1 \geq 0 \\ c a - c - a + 1 \geq 0 \end{matrix}$

$\Rightarrow a b + b c + c a - 2 (a + b + c) + 3 \geq 0$

$\Rightarrow 3 \leq a + b + c \leq \frac{a b + b c + c a + 3}{2} = 6$

$\Rightarrow {(a + b + c)}^{2} \leq 36$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (a b + b c + c a) \leq 36$

$\Rightarrow P \leq 36 - 2 (a b + b c + c a) = 18$

Dấu ‘=’ xảy ra $\Leftrightarrow [\begin{matrix} a = 4, b = c = 1 \\ b = 4, c = a = 1 \\ c = 4, a = b = 1 \end{matrix}$ .

Vậy GTNN của P là 9, xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = \sqrt{3}$ .

GTLN của P là 18, xảy ra khi và chỉ khi $[\begin{matrix} a = 4, b = c = 1 \\ b = 4, c = a = 1 \\ c = 4, a = b = 1 \end{matrix}$ .

...Xem thêm

Answer 2