Cho a,b,c là ba số không âm thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh a+2b+c≥41−a1−b1−c.

Cho a, b, c là ba số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh a+2b+c lớn hơn hoặc bằng 4(1-a)(1-b)(1-c)

Hoàng Bách

Đã trả lời bởi chuyên gia

đã hỏi trong Lớp 9 Toán học

· 16:10 05/01/2023

Đã trả lời bởi chuyên gia

Cho $a, b, c$ là ba số không âm thỏa mãn $a + b + c = 1$

Chứng minh $a + 2 b + c \geq 4 (1 - a) (1 - b) (1 - c) .$

Lưu câu hỏi Lưu

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

3 năm trước

Từ giả thiết: $a + b + c = 1 \Rightarrow 1 - a = b + c$ ; $1 - b = a + c$ ; $1 - c = a + b$

Suy ra $a + 2 b + c \geq 4 (1 - a) (1 - b) (1 - c)$

$\Leftrightarrow (a + b) + (b + c) \geq 4 (a + b) (b + c) (c + a)$

Đặt $x = a + b; y = b + c; z = c + a$ $(x, y, z \geq 0)$

Suy ra $x + y + z = 2,$ ta phải chứng minh $x + y \geq 4 x y z$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có : $x + y + z = (x + y) + z \geq 2 \sqrt{(x + y) . z}$ suy ra $2 \geq 2 \sqrt{(x + y) . z}$

suy ra $1 \geq (x + y) z$ , do $x + y \geq 0$ suy ra $x + y \geq {(x + y)}^{2} z$ (1)

Mặt khác ${(x + y)}^{2} \geq 4 x y,$ do $z \geq 0$ suy ${(x + y)}^{2} z \geq 4 x y z$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $x + y \geq 4 x y z$ suy ra bài toán được chứng minh.

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Bạn hỏi - Chuyên gia trả lời

Bạn cần hỏi gì?