Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Cách 1: Theo đề bài $a b + b c + c a = 3.$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

$3 = a b + b c + a c \geq 3 \sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}} \Rightarrow a b c \leq 1, (1) {(a + b + c)}^{2} \geq 3 (a b + b c + a c) = 9 \Rightarrow a + b + c \geq 3, (2) T ừ (1) v à (2) \Rightarrow a + b + c \geq 3 a b c . Đ ặ t x = \frac{1}{a + 1}; y = \frac{1}{b + 1}; z = \frac{1}{c + 1} (\Rightarrow x, y, z > 0; z \geq x) \Rightarrow P = x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} = x^{2} + z^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} \geq 2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \Rightarrow P \geq 2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq 2 (x y + y z + x z) . (*)$

$T a t ì m g i á t r ị n h ỏ n h ấ t c ủ a x y + y z + x z . x y + y z + x z = \frac{1}{(a + 1) (b + 1)} + \frac{1}{(c + 1) (b + 1)} + \frac{1}{(a + 1) (c + 1)} \Leftrightarrow x y + y z + x z = \frac{a + b + c + 3}{(a + 1) (b + 1) (c + 1)} = \frac{a + b + c + 3}{a b c + a + b + c + 4} \Leftrightarrow x y + y z + x z = \frac{a + b + c + 3}{a b c + a + b + c + 4} = \frac{3 (a + b + c + 3)}{3 a b c + 3 (a + b + c) + 12} \Leftrightarrow x y + y z + x z = \frac{3 (a + b + c + 3)}{3 a b c + 3 (a + b + c) + 12} \geq \frac{3 (a + b + c + 3)}{(a + b + c) + 3 (a + b + c) + 12} = \frac{3}{4} \Rightarrow P \geq 2. \frac{3}{4} = \frac{3}{2} .$

Dấu bằng xảy ra khi $x = y = z \Rightarrow a = b = c = 1.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P = \frac{3}{2} .$

Cách 2: Vì $V ì a \geq c \Rightarrow P = \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{3}{{(c + 1)}^{2}} \geq \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(c + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}}$

$\Rightarrow P \geq \frac{2}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(c + 1)}^{2}}$

Ta chứng minh đẳng thức với x, y không âm.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \geq \frac{1}{1 + x y}$

$\Leftrightarrow (1 + x y) (x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y + 2) - {(x y + x + y + 1)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow (1 + x y) (x^{2} + y^{2} - 2 x y + 2 x y + 2 x + 2 y + 2) - {(x y + x + y + 1)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow (1 + x y) {(x - y)}^{2} + 2 (1 + x y) (x y + x + y + 1) - {(x y + x + y + 1)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow (1 + x y) {(x - y)}^{2} + (x y - x - y + 1) (x y + x + y + 1) \geq 0 \Leftrightarrow x y {(x - y)}^{2} + {(x - y)}^{2} + {(x y + 1)}^{2} - {(x + y)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow x y {(x - y)}^{2} + {(x y - 1)}^{2} \geq 0.$

Luôn đúng, dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1.

$\Rightarrow P = \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{3}{{(c + 1)}^{2}} \geq \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(c + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}}$

$\Rightarrow P \geq \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(c + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} \geq \frac{1}{1 + a b} + \frac{1}{1 + b c} + \frac{1}{1 + a c} .$

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm ta có

$(x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 9 \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{9}{x + y + z} \Rightarrow P \geq \frac{1}{1 + a b} + \frac{1}{1 + b c} + \frac{1}{1 + a c} \geq \frac{9}{3 + a b + b c + a c} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} .$

Vậy GTNN của $P = \frac{3}{2}$ khi $a = b = c = 1.$

...Xem thêm

Answer 2

Cách 1: Theo đề bài $a b + b c + c a = 3.$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

$3 = a b + b c + a c \geq 3 \sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}} \Rightarrow a b c \leq 1, (1) {(a + b + c)}^{2} \geq 3 (a b + b c + a c) = 9 \Rightarrow a + b + c \geq 3, (2) T ừ (1) v à (2) \Rightarrow a + b + c \geq 3 a b c . Đ ặ t x = \frac{1}{a + 1}; y = \frac{1}{b + 1}; z = \frac{1}{c + 1} (\Rightarrow x, y, z > 0; z \geq x) \Rightarrow P = x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} = x^{2} + z^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} \geq 2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \Rightarrow P \geq 2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq 2 (x y + y z + x z) . (*)$

$T a t ì m g i á t r ị n h ỏ n h ấ t c ủ a x y + y z + x z . x y + y z + x z = \frac{1}{(a + 1) (b + 1)} + \frac{1}{(c + 1) (b + 1)} + \frac{1}{(a + 1) (c + 1)} \Leftrightarrow x y + y z + x z = \frac{a + b + c + 3}{(a + 1) (b + 1) (c + 1)} = \frac{a + b + c + 3}{a b c + a + b + c + 4} \Leftrightarrow x y + y z + x z = \frac{a + b + c + 3}{a b c + a + b + c + 4} = \frac{3 (a + b + c + 3)}{3 a b c + 3 (a + b + c) + 12} \Leftrightarrow x y + y z + x z = \frac{3 (a + b + c + 3)}{3 a b c + 3 (a + b + c) + 12} \geq \frac{3 (a + b + c + 3)}{(a + b + c) + 3 (a + b + c) + 12} = \frac{3}{4} \Rightarrow P \geq 2. \frac{3}{4} = \frac{3}{2} .$

Dấu bằng xảy ra khi $x = y = z \Rightarrow a = b = c = 1.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P = \frac{3}{2} .$

Cách 2: Vì $V ì a \geq c \Rightarrow P = \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{3}{{(c + 1)}^{2}} \geq \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(c + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}}$

$\Rightarrow P \geq \frac{2}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(c + 1)}^{2}}$

Ta chứng minh đẳng thức với x, y không âm.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \geq \frac{1}{1 + x y}$

$\Leftrightarrow (1 + x y) (x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y + 2) - {(x y + x + y + 1)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow (1 + x y) (x^{2} + y^{2} - 2 x y + 2 x y + 2 x + 2 y + 2) - {(x y + x + y + 1)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow (1 + x y) {(x - y)}^{2} + 2 (1 + x y) (x y + x + y + 1) - {(x y + x + y + 1)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow (1 + x y) {(x - y)}^{2} + (x y - x - y + 1) (x y + x + y + 1) \geq 0 \Leftrightarrow x y {(x - y)}^{2} + {(x - y)}^{2} + {(x y + 1)}^{2} - {(x + y)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow x y {(x - y)}^{2} + {(x y - 1)}^{2} \geq 0.$

Luôn đúng, dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1.

$\Rightarrow P = \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{3}{{(c + 1)}^{2}} \geq \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(c + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}}$

$\Rightarrow P \geq \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(b + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(c + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} \geq \frac{1}{1 + a b} + \frac{1}{1 + b c} + \frac{1}{1 + a c} .$

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm ta có

$(x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 9 \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{9}{x + y + z} \Rightarrow P \geq \frac{1}{1 + a b} + \frac{1}{1 + b c} + \frac{1}{1 + a c} \geq \frac{9}{3 + a b + b c + a c} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} .$

Vậy GTNN của $P = \frac{3}{2}$ khi $a = b = c = 1.$

1 câu trả lời 88

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9