Đặt $u = x_1 + y_1i\ \ (x_1;y_1\in \Bbb R)$

$\Rightarrow M(x_1;y_1)$ là điểm biểu diễn số phức $u$ trên mặt phẳng phức

Ta có:

$\quad 3|u - 6i| + 3|u - 1 -3i| = 5\sqrt{10}$

$\Leftrightarrow |u - 6i| + |u - 1 - 3i| = \dfrac{5\sqrt{10}}{3}$

$\Leftrightarrow MF_1 + MF_2 = \dfrac{5\sqrt{10}}{3}$

với $F_1(0;6),\ F_2(1;3)$

$\Rightarrow$ Tập hợp điểm $M$ là một Elipse với tâm $I\left(\dfrac12;\dfrac92\right)$ và trục lớn, tiêu cự, trục nhỏ lần lượt là:

$\begin{cases}2a = \dfrac{5\sqrt{10}}{3}\\2c = F_1F_2\\a^2 = b^2 + c^2\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a = \dfrac{5\sqrt{10}}{6}\\b = \dfrac{2\sqrt{10}}{3}\\c = \dfrac{\sqrt{10}}{2}\end{cases}$

Đặt $v = x_2 + y_2i\ \ (x_2;y_2\in\Bbb R)$

$\Rightarrow N(x_2;y_2)$ là điểm biểu diễn số phức $v$ trong mặt phẳng phức

Ta có:

$\quad |v - 1 + 2i| = |\overline{v} + i|$

$\Leftrightarrow |(x_2 - 1) + (y_2 + 2)i| = |x_2 - (y_2 - 1)i|$

$\Leftrightarrow (x_2 - 1)^2 + (y_2 + 2)^2 =  x_2^2 + (y_2 - 1)^2$

$\Leftrightarrow x_2 - 3y_2 - 2 =0$

$\Rightarrow$ Tập hợp điểm $N$ là đường thẳng $\Delta: x - 3y - 2 = 0$

Nhận thấy $\overrightarrow{F_1F_2} = (1;-3)$ là VTPT của $\Delta$

$\Rightarrow F_1F_2\perp \Delta$

Khi đó:

$\quad MN_{\min} = d(I;\Delta) - a$

$\Leftrightarrow |u- v|_{\min} = \dfrac{\left|\dfrac12 - 3\cdot \dfrac92 - 2\right|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} - \dfrac{5\sqrt{10}}{6}$

$\Leftrightarrow |u-v|_{\min} = \dfrac{2\sqrt{10}}{3}$