Cho hình vuông `ABCD` . Từ điểm `M` tùy ý trên đường chéo `BD` . Kẻ `ME , MF` lần lượt vuông góc với `AB ; AD` . CMR: `a, CF = DE ; CF ⊥ DE` `b, CM = EF ; CM ⊥ EF` `c, CM , BF , DE` đồng quy `d,` Xác định `M` để diện tích ``AEMF` lớn nhất Có vẽ hình nha
Quảng cáo
1 câu trả lời 170
$a,$ Dễ chứng minh được: $AEMF$ là hình chữ nhật
$⇒$ $\widehat{EMF}=90^o$
$⇒$ $\widehat{FMD}+\widehat{EMB}=90^o$
Vì: $BD$ là đường chéo của hình vuông $ABCD$
$⇒$ $BD$ là đường phân giác hình vuông $ABCD$
$⇒$ $\widehat{FDM}=\widehat{EBM}=45^o$
$⇒$ $\widehat{EMB}=90^o-\widehat{EBM}=45^o$
Mà: $\widehat{FMD}+\widehat{EMB}=90^o$
$⇒$ $\widehat{FMD}=\widehat{FDM}=45^o$
$⇒$ $ΔFMD$ vuông cân tại $F$
$⇒$ $FM=DF=AE$
$⇒$ $ΔDAE=ΔCDF(cgv-cgv)$
$⇒$ $CF=DE$
Vì $ΔDAE=ΔCDF$
$⇒$ $\widehat{AED}=\widehat{CFD}$
$\widehat{ADE}=\widehat{FCD}$
Gọi $DE∩CF=G$
Xét $ΔFGD$ có:
$\widehat{FGD}+\widehat{FDG}+\widehat{DFG}=180^o$
$⇒\widehat{FGD}+\widehat{ADE}+\widehat{AED}=180^o$
$⇒\widehat{FGD}+90^o=180^o$
$⇒$ $\widehat{FGD}=90^o$
$⇒$ $CF⊥DE$
$b,c$ Xét $ΔADM$ và $ΔCDM$ có:
$AD=CD$
$DM$ chung
$\widehat{ADM}=\widehat{CDM}=45^o$
$⇒$ $ΔADM=ΔCDM(c-g-c)$
Mà: $AEMF$ là hình chữ nhật.
$⇒$ $CM=AM=EF$
Gọi $K$ là giao điểm của $MF$ và $BC$
Ta có: $CK=DF$ ($DFKC$ là hình chữ nhật)
$⇒$ $CK=FM$ ($ΔFMD$ vuông cân tại $F→FD=FM$)
$CMTT:$ $KM=ME$
$⇒$ $ΔCKM=ΔFME$ $(c.c.c)$
$⇒$ $\widehat{KCM}=\widehat{MFE}$
$⇒$ $CM⊥EF$ ( Cái này dễ lắm, trình ông làm đc thoi ._.)
$CMTT$ ta được: $BF⊥CE$
Xét $ΔCEF$ có:
$CM,DE,BF$ là các đường cao
$⇒$ $CM,DE,BF$ đồng quy tại tại một điểm là trực tâm $ΔCEF$
$⇒$ $ĐPCM$
$d,$ Ta có:
$⇒$ $AE+EM=AE+EB=AB$ (không đổi)
$⇒$ $(AE-EM)^2≥0$
$⇒$ $AE^2-2AE.EM+EM^2≥0$
$⇒$ $AE^2+EM^2≥2AE.EM$
$⇒$ $AE^2+2AE.EM-2AE.EM+EM^2≥2AE.EM$
$⇒$ $(AE+EM)^2≥4AE.EM$
$⇒$ $[\dfrac{(AE+EM)}{2}]^2≥AE.EM$
$⇒$ $\dfrac{AB^2}{4}≥S_{AEMF}$
Vậy $Max_{S_{AEMF}}$ khi $AE = EM$ $⇒$ $M$ là giao điểm của $BD,AC$ của hình vuông $ABCD$
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
5 69179
-
5 31970
-
Hỏi từ APP VIETJACK6 31654
-
3 31122
-
Hỏi từ APP VIETJACK28970