Chứng minh rằng: a) sin^4α + cos^4α = 1

Chứng minh rằng: a) sin^4α + cos^4α = 1 - 2sin^2α . cos^2α

Lời giải Bài 3.5 trang 33 SBT Toán 10 sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10.

603

« Trang trước

Trang sau »

Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Bài 3.5 trang 33 SBT Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng: a) sin⁴α + cos⁴α = 1 - 2sin²α . cos²α;

b) sin⁶α + cos⁶α = 1 - 3sin²α . cos²α;

c*) $\sqrt{\sin^{4} α + 6 \cos^{2} α + 3} +$ $\sqrt{\cos^{4} α + 4 \sin^{2} α} = 4$ .

Lời giải:

a) Ta có (sin²α + cos²α)² = sin⁴α + 2sin²α . cos²α + cos⁴α

$\Rightarrow$ 1² = sin⁴α + cos⁴α + 2sin²α . cos²α

$\Rightarrow$ sin⁴α + cos⁴α = 1 - 2sin²α . cos²α

Vậy sin⁴α + cos⁴α = 1 - 2sin²α . cos²α.

b) Ta có (sin²α + cos²α)³ = sin⁶α + cos⁶α + 3sin²α . cos²α(sin²α + cos²α)

$\Rightarrow$ 1³ = sin⁶α + cos⁶α + 3sin²α . cos²α . 1

$\Rightarrow$ sin⁶α + cos⁶α = 1 - 3sin²α . cos²α

Vậy sin⁶α + cos⁶α = 1 - 3sin²α . cos²α.

c) Xét sin⁴α + 6cos²α + 3

= sin⁴α + 6(1 - sin²α) + 3

= sin⁴α - 6sin²α + 9

= (sin²α - 3)²

$\Rightarrow$ $\sqrt{\sin^{4} α + 6 \cos^{2} α + 3} = \sqrt{{(\sin^{2} α - 3)}^{2}}$

= |sin²α – 3| = 3 - sin²α

(do 0 ≤ sin²α < 1 nên sin²α – 3 < 0).

Xét cos⁴α + 4sin²α

= cos⁴α + 4(1 - cos²α)

= cos⁴α - 4 cos²α + 4

= (cos²α - 2)²

$\Rightarrow$ $\sqrt{\cos^{4} α + 4 \sin^{2} α} = \sqrt{{(\cos^{2} α - 2)}^{2}}$

= |cos²α – 2| = 2 - cos²α

(do 0 ≤ cos²α < 1 nên cos²α – 2 < 0).

$\Rightarrow$ $\sqrt{\sin^{4} α + 6 \cos^{2} α + 3} +$ $\sqrt{\cos^{4} α + 4 \sin^{2} α}$

= 3 - sin² α + 2 - cos² α

= 5 - (sin² α + cos² α)

= 5 - 1

= 4.

Vậy $\sqrt{\sin^{4} α + 6 \cos^{2} α + 3} +$ $\sqrt{\cos^{4} α + 4 \sin^{2} α} = 4$ .

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán 10 bộ sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 3.1 trang 32 SBT Toán 10 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức: a) A = sin45° + 2sin60° + tan120° + cos135°...

Bài 3.2 trang 32 SBT Toán 10 Tập 1: Cho góc α, 90° < α < 180° thỏa mãn sin α = $\frac{3}{4}$ . Tính giá trị của biểu thức...

Bài 3.3 trang 33 SBT Toán 10 Tập 1: Cho góc α thỏa mãn 0° < α < 180°, tanα = 2. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) G = 2sin α + cos α...

Bài 3.4 trang 33 SBT Toán 10 Tập 1: Cho góc α thỏa mãn 0° < α < 180°, tanα = $\sqrt{2}$ . Tính giá trị của biểu thức...

Bài 3.5 trang 33 SBT Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng: a) sin⁴α + cos⁴α = 1 - 2sin²α . cos²α; b) sin⁶α + cos⁶α = 1 - 3sin²α . cos²α...

Bài 3.6 trang 33 SBT Toán 10 Tập 1: Góc nghiêng của Mặt Trời tại một vị trí trên Trái Đất là góc nghiêng giữa tia nắng lúc giữa trưa với mặt đất. Trong thực tế, để đo trực tiếp góc này, vào giữa trưa (khoảng 12 giờ), em có thể dựng một thước thẳng vuông góc với mặt đất...

603

« Trang trước

Trang sau »

Chứng minh rằng: a) sin^4α + cos^4α = 1 - 2sin^2α . cos^2α

Có thể bạn quan tâm