Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn - Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 10 trang 23 Tập 1

Bài 2.6 trang 23 SBT Toán 10 Tập 1: Biểu diễn miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

a) $\left\{\begin{array}{l}x\ge -1\\ y\ge 0\\ x+y\le 4\end{array}\right.$;

b) $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ y>0\\ x-y-4<0\end{array}\right.$;

c) $\left\{\begin{array}{l}y\le 3\\ x\le 3\\ x\ge -1\\ y\ge -2\end{array}\right.$.

Lời giải:

a) $\left\{\begin{array}{l}x\ge -1\\ y\ge 0\\ x+y\le 4\end{array}\right.$

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

• Xét miền nghiệm của bất phương trình x ≥ -1.

Vẽ đường thẳng d₁: x = -1 bằng cách vẽ một đường thẳng song song với trục Oy tại một điểm có hoành độ bằng -1.

Chọn điểm I(1; 1) $\in$ d₁ và thay vào biểu thức x, ta có 1 > -1.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ -1 là nửa mặt phẳng bờ d₁ có chứa điểm I(1; 1).

• Xét miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0.

Đường thẳng d₂: y = 0 là đường thẳng trùng với trục Ox.

Chọn điểm I(1; 1) $\in$ d₂ và thay vào biểu thức y, ta có 1 > 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d₂ có chứa điểm I(1; 1).

• Xét miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 4.

Vẽ đường thẳng d₃: x + y = 4 bằng cách vẽ một đường thẳng qua hai điểm (0; 4) và (4; 0).

Chọn điểm I(1; 1) $\in$ d₃ và thay vào biểu thức x + y = 4, ta có 1 + 1 = 2 < 4.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 4 là nửa mặt phẳng bờ d₃ có chứa điểm I(1; 1).

Khi đó miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây.

b) $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ y>0\\ x-y-4<0\end{array}\right.$

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

• Đường thẳng d₁: x = 0 là đường thẳng trùng với trục Oy.

Chọn điểm I(1; 1) $\in$ d₁ và thay vào biểu thức x ta được 1 > 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x > 0 là nửa mặt phẳng bờ d₁ có chứa điểm I(1;1) và bỏ đi đường thẳng d₁.

• Đường thẳng y = 0 là đường thẳng trùng với trục Ox.

Chọn điểm I(1; 1) $\in$ d₂ và thay vào biểu thức y ta được 1 > 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y > 0 là nửa mặt phẳng bờ d₂ có chứa điểm I(1;1) và bỏ đi đường thẳng d₂.

• Vẽ đường thẳng d₃: x - y - 4 = 0 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; -4) và (4; 0).

Chọn điểm I(1; 1) $\in$ d₃ và thay vào biểu thức x - y - 4 ta được 1 - 1 - 4 = -4 < 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x - y - 4 < 0 là nửa mặt phẳng bờ d₃ có chứa điểm I(1; 1) và bỏ đi đường thẳng d₃.

Khi đó miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây:

c)$\left\{\begin{array}{l}y\le 3\\ x\le 3\\ x\ge -1\\ y\ge -2\end{array}\right.$ 

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

• Đường thẳng d₁: y = 3 là đường thẳng song song với trục Ox và đi qua điểm có tung độ bằng 3.

Chọn điểm O(0; 0) $\in$ d₁ và thay vào biểu thức y ta được 0 < 3.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≤ 3 là nửa mặt phẳng bờ d₁ có chứa điểm O(0; 0).

• Đường thẳng d₂: x = 3 là đường thẳng song song với trục Oy và đi qua điểm có hoành độ bằng 3.

Chọn điểm O(0; 0) $\in$ d₂ và thay vào biểu thức x ta được 0 < 3.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≤ 3 là nửa mặt phẳng bờ d₂ có chứa điểm O(0; 0).

• Đường thẳng d₃: x = -1 là đường thẳng song song với trục Oy và đi qua điểm có hoành độ bằng -1.

Chọn điểm O(0; 0) $\in$ d₃ và thay vào biểu thức x ta được 0 > -1.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ -1 là nửa mặt phẳng bờ d₃ có chứa điểm O(0; 0).

Đường thẳng d₄: y = -2 là đường thẳng song song với trục Ox và đi qua điểm có tung độ bằng -2.

Chọn điểm O(0; 0) $\in$ d₄ và thay vào biểu thức x ta được 0 > -2.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≥ -2 là nửa mặt phẳng bờ d₄ có chứa điểm O(0; 0).

Khi đó miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây:

Bài 2.7 trang 23 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 2x + 3y với (x; y) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 6\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$.

Lời giải:

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

• Vẽ đường thẳng d₁: x + y = 6 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (6; 0) và (0; 6).

Chọn điểm I(1; 1) $\in$ d₁ và thay vào biểu thức x + y ta được 1 + 1 = 2 < 6.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 6 là nửa mặt phẳng bờ d₁ có chứa điểm I(1; 1).

• Đường thẳng d₂: x = 0 là đường thẳng trùng với trục Oy.

Chọn điểm I(1; 1) $\in$ d₂ và thay vào biểu thức x ta được 1 > 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d₂ có chứa điểm I(1; 1).

• Đường thẳng d₃: y = 0 là đường thẳng trùng với trục Ox.

Chọn điểm I(1; 1) $\in$ d₃ và thay vào biểu thức y ta được 1 > 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d₃ có chứa điểm I(1; 1).

Khi đó miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây:

Ta thấy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác AOB với A(6; 0), O(0; 0) và B(0; 6).

F(6; 0) = 2 . 6 + 3. 0 = 12;

F(0; 0) = 2 . 0 + 3 . 0 = 0;

F(0; 6) = 2 . 0 + 3 . 6 = 18.

Do đó giá trị lớn nhất của F(x; y) = 18 khi x = 0 và y = 6; giá trị nhỏ nhất của F(x; y) = 0 khi x = 0 và y = 0.

Bài 2.8 trang 23 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 4x - 3y trên miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y\ge -4\\ x+y\le 5\\ x-y\le 5\\ x-y\ge -4\end{array}\right.$.

Lời giải:

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

• Vẽ đường thẳng d₁: x + y = -4 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; -4) và (-4; 0).

Chọn điểm I(1; 1) $\in$ d₁ và thay vào biểu thức x + y ta được 1 + 1 = 2 > -4.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≥ -4 là nửa mặt phẳng bờ d₁ chứa điểm I(1; 1).

• Vẽ đường thẳng d₂: x + y = 5 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; 5) và (5; 0).

Chọn điểm I(1; 1) $\in$ d₂ và thay vào biểu thức x + y ta được 1 + 1 = 2 < 5.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 5 là nửa mặt phẳng bờ d₂ chứa điểm I(1; 1).

• Vẽ đường thẳng d₃: x - y = 5 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; -5) và (5; 0).

Chọn điểm I(1; 1) $\in$ d₃ và thay vào biểu thức x + y ta được 1 - 1 = 0 < 5.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x - y ≤ 5 là nửa mặt phẳng bờ d₃ chứa điểm I(1; 1).

• Vẽ đường thẳng d₄: x - y = -4 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; 4) và (-4; 0).

Chọn điểm I(1; 1) $\in$ d₄ và thay vào biểu thức x - y ta được 1 - 1 = 0 > -4.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x - y ≥ -4 là nửa mặt phẳng bờ d₄ chứa điểm I(1; 1).

Khi đó miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là hình vuông ABCD với A(5; 0), B(0,5; -4,5), C(-4; 0) và D(0,5; 4,5).

F(5; 0) = 4 . 5 - 3 . 0 = 20;

F(0,5; -4,5) = 4 . 0,5 - 3. (-4,5) = 15,5;

F(-4; 0) = 4 . (-4) - 3 . 0 = -16;

F(0,5; 4,5) = 4 . 0,5 - 3 . 4,5 = -11,5.

Vậy giá trị lớn nhất của F(x; y) = 20 khi x = 5 và y = 0 và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = -16 khi x = -4 và y = 0.

Bài 2.9 trang 23 SBT Toán 10 Tập 1: Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 12 g hương liệu, 9 lít nước và 315 g đường để pha chế hai loại nước A và B. Để pha chế 1 lít nước A cần 45 g đường, 1 lít nước và 0,5 g hương liệu; để pha chế 1 lít nước B cần 15 g đường, 1 lít nước và 2 g hương liệu. Mỗi lít nước A nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước B nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước mỗi loại để đội chơi được số điểm thưởng là cao nhất?

Lời giải:

Gọi số lít nước A và B cần pha chế lần lượt là x lít và y lít (x ≥ 0; y ≥ 0).

Do 1 lít nước A cần 45 g đường, 1 lít nước và 0,5 g hương liệu nên x lít nước A cần 45x g đường, x lít nước và 0,5x g hương liệu.

Do 1 lít nước B cần 15 g đường, 1 lít nước và 2 g hương liệu nên y lít nước A cần 15y g đường, y lít nước và 2y g hương liệu.

Do có tối đa 12g hương liệu, 9 lít nước và 315 g đường nên 45x + 15y ≤ 315; x + y ≤ 9 và 0,5x + 2y ≤ 12.

Khi đó ta có hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 0,5\text{x}+2y\le 12\\ x+y\le 9\\ 45\text{x}+15y\le 315\end{array}\right.$

Với số điểm thưởng đội chơi nhận được là F(x; y) = 60x + 80y (điểm).

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

• Đường thẳng d₁: x = 0 là đường thẳng trùng với trục Oy.

Chọn điểm I(1; 1) $\in$ d₁ và thay bảo biểu thức x ta được 1 > 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d₁ chứa điểm I(1; 1).

• Đường thẳng d₂: y = 0 là đường thẳng trùng với trục Ox.

Chọn điểm I(1; 1) $\in$ d₂ và thay bảo biểu thức y ta được 1 > 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d₂ chứa điểm I(1; 1).

• Vẽ đường thẳng d₃: 0,5x + 2y = 12 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; 6) và (4; 5).

Chọn điểm I(1; 1) $\in$ d₃ và thay bảo biểu thức 0,5x + 2y ta được 0,5 . 1 + 2 . 1 = 2,5 < 12.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình 0,5x + 2y ≤ 12 là nửa mặt phẳng bờ d₃ chứa điểm I(1; 1).

• Vẽ đường thẳng d₄: x + y = 9 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (3; 6) và (4; 5).

Chọn điểm I(1; 1) $\in$ d₄ và thay bảo biểu thức x + y ta được 1 + 1 = 2 < 9.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 9 là nửa mặt phẳng bờ d₄ chứa điểm I(1; 1).

• Vẽ đường thẳng d₅: 45x + 15y = 315 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (5; 6) và (7; 0).

Chọn điểm I(1; 1) $\in$ d₄ và thay bảo biểu thức 45x + 15y ta được 45 . 1 + 15. 1 = 60 < 315.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình 45x + 15y ≤ 315 là nửa mặt phẳng bờ d₅ chứa điểm I(1; 1).

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây

Miền nghiệm của hệ là miền ngũ giác ABCDO với A(0; 6), B(4; 5), C(6; 3), D(7; 0) và O(0; 0).

Ta có F(0; 6) = 60 . 0 + 80 . 6 = 480;

F(4; 5) = 60 . 4 + 80 . 5 = 640;

F(6; 3) = 60 . 6 + 80 . 3 = 600;

F(7; 0) = 60 . 7 + 80 . 0 = 420;

F(0; 0) = 0.

Giá trị lớn nhất là F(4; 5) = 640.

Vậy cần pha 4 lít nước loại A và 5 lít nước loại B để số điểm thưởng nhận được là lớn nhất.