Bài 3.1 trang 32 SBT Toán 10 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức:

a) A = sin45° + 2sin60° + tan120° + cos135°;

b) B = tan45° . cot135° - sin30° . cos120° - sin60° . cos150°;

c) C = cos²5° + cos²25° + cos²45° + cos²65° + cos²85°;

d) D = $\frac{12}{1+{\tan }^{2}73°}$ - 4tan75° . cot105° +  12sin²107° - 2tan40° . cos60° . tan50°;

e) E = 4tan32° . cos60° . cot148° + $\frac{5{\cot }^{2}108°}{1+{\tan }^{2}18°}$ + 5sin²72°.

Lời giải:

a) A = sin45° + 2sin60° + tan120° + cos135°

Ta có sin 45° = $\frac{1}{\sqrt{2}}$; sin 60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

tan 120° = $-\sqrt{3}$; cos 135° = $-\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Khi đó A = $\frac{1}{\sqrt{2}}+2.\frac{\sqrt{3}}{2}+\left(-\sqrt{3}\right)+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

= $\frac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{3}-\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{2}}$

= 0.

Vậy A = 0.

b) B = tan45° . cot135° - sin30° . cos120° - sin60° . cos150°

Ta có tan45° = 1; cot135° = -1;

sin30° = $\frac{1}{2}$; cos120° = $\frac{-1}{2}$;

sin60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$; cos150° = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Khi đó B = 1 . (-1) - $\frac{1}{2}.\left(-\frac{1}{2}\right)$ - $\frac{\sqrt{3}}{2}.\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

= -1 + $\frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = 0.

Vậy B = 0.

c) C = cos²5° + cos²25° + cos²45° + cos²65° + cos²85°

Ta có cos45° = $\frac{1}{\sqrt{2}}$;

cos5° = cos(90° - 85°) = sin85°;

cos25° = cos(90° - 65°) = sin65°.

Do đó: cos²5° = sin²85°; cos²25° = sin²65°.

Khi đó C = sin²85° + sin²65° + $\frac{1}{2}$ + cos²65° + cos²85°

C = (sin²85° + cos²85°) + (sin²65° + cos²65°) + $\frac{1}{2}$

= 1 + 1 + $\frac{1}{2}$ = $\frac{5}{2}$.

Vậy C = $\frac{5}{2}$.

d) D = $\frac{12}{1+{\tan }^{2}73°}$ - 4tan75° . cot105° +  12sin²107° - 2tan40° . cos60° . tan50°

Ta có 1 + tan²73° = 1 + $\frac{{\sin }^{2}73°}{{\cos }^{2}73°}$

= $\frac{{\cos }^{2}73°}{{\cos }^{2}73°}+\frac{{\sin }^{2}73°}{{\cos }^{2}73°}$

= $\frac{{\cos }^{2}73°+{\sin }^{2}73°}{{\cos }^{2}73°}$ = $\frac{1}{{\cos }^{2}73°}$ 

$\Rightarrow$ $\frac{1}{1+{\tan }^{2}73°}$ = cos²73°

$\Rightarrow$ $\frac{12}{1+{\tan }^{2}73°}$ = 12cos²73°

Khi đó:

D = 12cos²73° - 4 . tan(180° - 105°) . cot105° + 12sin²107° - 2tan(90° - 50°) . cos60° . tan50°

= 12cos²73° – 4(–tan105°) . cot105° + 12sin² 107° - 2cot50° . cos60° . tan50°

= 12cos² 73° + 12sin² 73° + 4tan105° . cot105° - 2cot 50° . tan 50° . cos 60°

= 12(cos² 73° + sin² 73°) + 4.1 – 2.1.cos60°

= 12 + 4 - 2. $\frac{1}{2}$ = 15.

Vậy D = 15.

e) E = 4tan32° . cos60° . cot148° + $\frac{5{\cot }^{2}108°}{1+{\tan }^{2}18°}$ + 5sin²72°

Ta có 1 + tan² 18° = 1 + $\frac{{\sin }^{2}18°}{{\cos }^{2}18°}$ 

= $\frac{{\cos }^{2}18°}{{\cos }^{2}18°}+\frac{{\sin }^{2}18°}{{\cos }^{2}18°}$ 

= $\frac{{\cos }^{2}18°+{\sin }^{2}18°}{{\cos }^{2}18°}$ 

= $\frac{1}{{\cos }^{2}18°}$

$\Rightarrow$ $\frac{5{\cot }^{2}108°}{1+{\tan }^{2}108°}$ = 5cot²108° . cos²18°

= 5[cot(180° - 72°)]² . cos²18°

= 5.(-cot72°)² . cos²18°

= 5.cot²72° . cos²18°

Khi đó:

E = 4tan32° . cos60° . cot(180° - 32°) + 5cot² 72° . cos²18° + 5[sin(90° - 18°)]²

= 4tan32° . cos60° . (-cot32°) + 5 cot²72° . cos²18° + 5cos²18°

= -4cos60° + 5cos²18° . (cot²72° + 1)

= -4 . $\frac{1}{2}$ + 5cos²18° . $\frac{1}{{\sin }^{2}72°}$

= -2 + 5cos²18° . $\frac{1}{{\left[\sin \left(90°-18°\right)\right]}^2}$

= -2 + 5cos² 18° . $\frac{1}{{\cos }^{2}18°}$

= -2 + 5 = 3.

Vậy E = 3.