Bài 81 trang 99 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 3; - 1), B(3; 5), C(3; - 4). Gọi G, H, I lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

a) Lập phương trình các đường thẳng AB, BC, AC.

b) Tìm tọa độ các điểm G, H, I.

c) Tính diện tích tam giác ABC.

Lời giải:

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là:  $\overrightarrow{AB}=\left(6;6\right)$

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB:  $\overrightarrow{n_{AB}}=\left(1;-1\right)$

Phương trình đường thẳng AB là: x + 3 – (y + 1) = 0 ⇔ x – y + 2 = 0.

Đường thẳng AC có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{AC}=\left(6;-3\right)$ , khi đó vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n_{AC}}$  = (1; 2). Suy ra phương trình đường thẳng AC là: 1(x + 3) + 2(y + 1) = 0 ⇔ x + 2y + 5 = 0 .

Đường thẳng BC có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{BC}=\left(0;-9\right)$ , khi đó vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n_{BC}}$  = (1; 0). Suy ra phương trình đường thẳng BC là: 1(x – 3) + 0(y – 5) = 0 ⇔ x – 3 = 0.

b) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là:

 $$\begin{gathered} x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{-3+3+3}{3}=1 \\ {y}_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{-1+5+\left(-4\right)}{3}=0 \end{gathered}$$

Suy ra G(1; 0).

AH vuông góc với BC nên đường thẳng AH có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{BC}=\left(0;-9\right)$ .

Phương trình đường thẳng AH đi qua A(-3; -1): 0.(x + 3) – 9(y +1) = 0 ⇔ y + 1 = 0.

CH vuông góc với AB nên đường thẳng CH có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{AB}=\left(6;6\right)$ = 6(1; 1).

Phương trình đường thẳng CH đi qua C(3; -4): 1.(x - 3) + 1.(y + 4) = 0 ⇔ x + y + 1 = 0.

H là giao của AH và CH nên là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}y+1=0\\ x+y+1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-1\end{array}\right.$ ⇒ H(0; -1).

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC; d₁, d₂ lần lượt là trung trực của AB, BC

Suy ra M(0; 2) và N  $\left(3;\frac{1}{2}\right)$

Đường thẳng d₁ vuông góc với AB nên có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{AB}=\left(6;6\right)$  = 6(1; 1).

Phương trình đường thẳng d₁ đi qua M(0; 2) là: 1.(x – 0) + 1.(y – 2) = 0 hay x + y – 2 = 0.

Đường thẳng d₂ vuông góc với BC nên có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{BC}=\left(0;-9\right)$ .

Phương trình đường thẳng d₁ đi qua N$\left(3;\frac{1}{2}\right)$ là: 0(x – 0) – 9(y – $\frac{1}{2}$ ) = 0 ⇔ y – $\frac{1}{2}$  = 0.

Giao điểm của d₁ và d₂ là tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên tọa độ I là nghiệm của hệ:

 $\left\{\begin{array}{l}x+y-2=0\\ y-\frac{1}{2}=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}\\ y=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Do đó I $\left(\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)$.

c) Diện tích tam giác ABC:

S = $\frac{1}{2}.d\left(A,BC\right).BC$  = $\frac{1}{2}.\frac{\left|-3-3\right|}{\sqrt{1^2}}.\sqrt{0^2+{\left(-9\right)}^2}=27$ .

Vậy diện tích tam giác ABC là 27 đvdt.