Giải SBT Toán 10 trang 97 Tập 2

Bài 71 trang 97 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(- 2; 1), B(1; - 3). Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$  là:

A. (1; - 4);

B. (- 3; 4);

C. (3; - 4);

D. (1; - 2).

Lời giải:

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$  là:

 $\overrightarrow{AB}=\left(1-\left(-2\right);-3-1\right)=\left(3;-4\right)$

Vậy chọn đáp án C.

Bài 72 trang 97 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(-1; - 5), B(5; 2) và trọng tâm là gốc tọa độ. Tọa độ điểm C là:

A. (4; - 3);

B. (- 4; - 3);

C. (- 4; 3);

D. (4; 3).

Lời giải:

Do trọng tâm tam giác là gốc tọa độ nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_O=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ y_O=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_C=3.x_O-x_A-x_B\\ y_C=3.y_O-y_A-y_B\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_C=3.0-\left(-1\right)-5\\ y_C=3.0-(-5)-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_C=-4\\ y_C=3\end{array}\right.$.

Suy ra tọa độ C(– 4; 3). 

Vậy chọn đáp án C

Giải SBT Toán 10 trang 98 Tập 2

Bài 73 trang 98 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vectơ nào sau đây có độ dài bằng 1?

A. $\overrightarrow{a}=\left(1;1\right)$ ;

B. $\overrightarrow{b}=\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$ ;

C. $\overrightarrow{c}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{2}{3}\right)$ ;

D. $\overrightarrow{d}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}};-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ .

Lời giải:

Ta có:

$\overrightarrow{a}=\left(1;1\right)$ nên độ dài vectơ : $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ ;

$\overrightarrow{b}=\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$ nên độ dài vectơ : $\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

$\overrightarrow{c}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{2}{3}\right)$ nên độ dài vectơ : $\left|\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^2+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=\frac{\sqrt{7}}{3}$ ;

$\overrightarrow{d}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}};-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ nên độ dài vectơ : $\left|\overrightarrow{d}\right|=\sqrt{{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=1$ .

Vậy chọn đáp án D

Bài 74 trang 98 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng ∆ đi qua điểm M(- 2; 0) và song song với đường thẳng d: 2x – y + 2 = 0 có phương trình là:

A. 2x – y = 0;

B. 2x – y + 4 = 0;

C. 2x + y + 4 = 0;

D. x + 2y + 2 = 0.

Lời giải:

Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d: 2x – y + 2 = 0

Nên ∆ có dạng 2x – y + c = 0

M(-2; 0) thuộc ∆ nên 2. (-2) – 0 + c = 0  

Suy ra đường thẳng ∆ là: 2x – y + 4 = 0.

Vậy chọn đáp án B.

Bài 75 trang 98 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng

${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{c}x=2+\sqrt{3}t\\ y=-1+3t\end{array}\right.$ và ${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{c}x=3-\sqrt{3}t\text{'}\\ y=-t\text{'}\end{array}\right.$

Số đo góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ là:

A. 30⁰;

B. 45⁰;

C. 90⁰;

D. 60⁰.

Lời giải:

Ta thấy vectơ chỉ phương của ${\Delta }_1$  là:  $\overrightarrow{u_1}=\left(\sqrt{3};3\right)$

Vectơ chỉ phương của ${\Delta }_2$  là: $\overrightarrow{u_2}=\left(-\sqrt{3};-1\right)$

Ta có: cos $\left(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right)=\frac{\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}}{\left|\overrightarrow{u_1}\right|.\left|\overrightarrow{u_2}\right|}=\frac{\sqrt{3}.\left(-\sqrt{3}\right)+3.\left(-1\right)}{\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+3^2}.\sqrt{{\left(-\sqrt{3}\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{-6}{4\sqrt{3}}=\frac{-\sqrt{3}}{2}$   

Suy ra $\left(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right)$  = 150  

Suy ra góc giữa 2 đường thẳng chính là góc nhọn giữa 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó.

Do đó $\left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)={180}^o-\left(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right)={30}^o$

Vậy chọn đáp án A.

Bài 76 trang 98 SBT Toán 10 Tập 2: Khoảng cách từ điểm M(4; - 2) đến đường thẳng ∆: x – 2y + 2 = 0.

A. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ ;

B. $2\sqrt{5}$ ;

C. 2;

D. $\sqrt{5}$ .

Lời giải:

Khoảng cách từ M đến $\Delta$  là:

 $d\left(M,\Delta \right)=\frac{\left|4-2.\left(-2\right)+2\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$

Vậy chọn đáp án B.

Bài 77 trang 98 SBT Toán 10 Tập 2: Phương trình nào dưới đây là phương trình đường tròn?

A. ${\left(x+3\right)}^2-{\left(y+4\right)}^2=100$ ;

B. ${\left(x+3\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=100$ ;

C. $2{\left(x+3\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=100$ ;

D. ${\left(x+3\right)}^2+2{\left(y+4\right)}^2=100$ .

Lời giải:

Theo định nghĩa ta có phương trình đường tròn có dạng:  ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=R^2$

Do đó ta thấy chỉ có phương trình ${\left(x+3\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=100$ thỏa mãn.

Vậy chọn đáp án B.

Bài 78 trang 98 SBT Toán 10 Tập 2: Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường hypebol?

A. $\frac{x^2}{{15}^2}+\frac{y^2}{{15}^2}=1$ ;

B. $\frac{x^2}{{15}^2}+\frac{y^2}{{16}^2}=-1$ ;

C. $\frac{x^2}{{16}^2}+\frac{y^2}{{15}^2}=1$ ;

D. $\frac{x^2}{{15}^2}-\frac{y^2}{{16}^2}=1$ .

Lời giải:

Theo định nghĩa phương trình chính tắc của Hypebol là: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a, b > 0).

Ta thấy chỉ có phương trình $\frac{x^2}{{15}^2}-\frac{y^2}{{16}^2}=1$  thỏa mãn.

Vậy chọn đáp án D.

Bài 79 trang 98 SBT Toán 10 Tập 2: Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường parabol?

A. $y^2=\frac{x}{10}$ ;

B. $y^2=\frac{-x}{10}$ ;

C. $x^2=\frac{y}{10}$ ;

D. $x^2=\frac{-y}{10}$ .

Lời giải:

Phương trình chính tắc của Parabol có dạng: $y^2=2px$ (p > 0)

Do đó hệ số của x luôn dương.

Ta thấy chỉ có phương trình $y^2=\frac{x}{10}=\frac{1}{10}x$  thỏa mãn.

Vậy chọn đáp án A.

Giải SBT Toán 10 trang 99 Tập 2

Bài 80 trang 99 SBT Toán 10 Tập 2: Đường elip $\frac{x^2}{40}+\frac{y^2}{36}=1$  có hai tiêu điểm là:

A. $F_1\left(-2;0\right),F_2\left(2;0\right)$ ;

B. $F_1\left(-4;0\right),F_2\left(4;0\right)$ ;

C. $F_1\left(0;-2\right),F_2\left(0;2\right)$ ;

D. $F_1\left(0;-4\right),F_2\left(0;4\right)$ .

Lời giải:

Đường elip $\frac{x^2}{40}+\frac{y^2}{36}=1$  có  $a^2=\mathrm{40,}{b}^2=36$

Suy ra $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{4}=2$

Do đó 2 tiêu điểm của Elip đối xứng với nhau qua Oy sẽ có tọa độ là: (-2;0) và (2;0)

Vậy chọn đáp án A.

Bài 81 trang 99 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 3; - 1), B(3; 5), C(3; - 4). Gọi G, H, I lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

a) Lập phương trình các đường thẳng AB, BC, AC.

b) Tìm tọa độ các điểm G, H, I.

c) Tính diện tích tam giác ABC.

Lời giải:

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là:  $\overrightarrow{AB}=\left(6;6\right)$

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB:  $\overrightarrow{n_{AB}}=\left(1;-1\right)$

Phương trình đường thẳng AB là: x + 3 – (y + 1) = 0 ⇔ x – y + 2 = 0.

Đường thẳng AC có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{AC}=\left(6;-3\right)$ , khi đó vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n_{AC}}$  = (1; 2). Suy ra phương trình đường thẳng AC là: 1(x + 3) + 2(y + 1) = 0 ⇔ x + 2y + 5 = 0 .

Đường thẳng BC có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{BC}=\left(0;-9\right)$ , khi đó vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n_{BC}}$  = (1; 0). Suy ra phương trình đường thẳng BC là: 1(x – 3) + 0(y – 5) = 0 ⇔ x – 3 = 0.

b) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là:

 $$\begin{gathered} x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{-3+3+3}{3}=1 \\ {y}_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{-1+5+\left(-4\right)}{3}=0 \end{gathered}$$

Suy ra G(1; 0).

AH vuông góc với BC nên đường thẳng AH có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{BC}=\left(0;-9\right)$ .

Phương trình đường thẳng AH đi qua A(-3; -1): 0.(x + 3) – 9(y +1) = 0 ⇔ y + 1 = 0.

CH vuông góc với AB nên đường thẳng CH có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{AB}=\left(6;6\right)$ = 6(1; 1).

Phương trình đường thẳng CH đi qua C(3; -4): 1.(x - 3) + 1.(y + 4) = 0 ⇔ x + y + 1 = 0.

H là giao của AH và CH nên là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}y+1=0\\ x+y+1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-1\end{array}\right.$ ⇒ H(0; -1).

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC; d₁, d₂ lần lượt là trung trực của AB, BC

Suy ra M(0; 2) và N  $\left(3;\frac{1}{2}\right)$

Đường thẳng d₁ vuông góc với AB nên có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{AB}=\left(6;6\right)$  = 6(1; 1).

Phương trình đường thẳng d₁ đi qua M(0; 2) là: 1.(x – 0) + 1.(y – 2) = 0 hay x + y – 2 = 0.

Đường thẳng d₂ vuông góc với BC nên có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{BC}=\left(0;-9\right)$ .

Phương trình đường thẳng d₁ đi qua N$\left(3;\frac{1}{2}\right)$ là: 0(x – 0) – 9(y – $\frac{1}{2}$ ) = 0 ⇔ y – $\frac{1}{2}$  = 0.

Giao điểm của d₁ và d₂ là tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên tọa độ I là nghiệm của hệ:

 $\left\{\begin{array}{l}x+y-2=0\\ y-\frac{1}{2}=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}\\ y=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Do đó I $\left(\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)$.

c) Diện tích tam giác ABC:

S = $\frac{1}{2}.d\left(A,BC\right).BC$  = $\frac{1}{2}.\frac{\left|-3-3\right|}{\sqrt{1^2}}.\sqrt{0^2+{\left(-9\right)}^2}=27$ .

Vậy diện tích tam giác ABC là 27 đvdt.

Bài 82 trang 99 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm F₁(- 4; 0) và F₂ (4; 0).

a) Lập phương trình đường tròn có đường kính là F₁F₂.

b) Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng tọa độ thỏa mãn MF₁ + MF₂ = 12 là một đường conic (E). Cho biết (E) là đường conic nào và viết phương trình chính tắc của (E).

c) Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng tọa độ thỏa mãn $\left|M{F}_1-M{F}_2\right|=4$  là một đường conic (H). Cho biết (H) là đường conic nào và viết phương trình chính tắc của (H).

Lời giải:

a) Gọi I là tâm đường tròn, suy ra I là trung điểm của $F_1{F}_2$  $\Rightarrow I\left(0;0\right)$

Bán kính đường tròn là: R =  $\frac{1}{2}{F}_1{F}_2=\frac{1}{2}.\sqrt{{\left(-4-4\right)}^2+0^2}=4$

Vậy phương trình đường tròn là: $x^2+y^2=16$ .

b)

Theo định nghĩa Elip tập hợp các điểm M thỏa mãn MF₁ + MF₂ = 12 là một đường elip (E) nhận 2 tiêu điểm là F₁(-4; 0) và F₂(4;0), suy ra c = 4.

Ta có:  $M{F}_1+M{F}_2=2a=12\Rightarrow a=6$

Suy ra b² = a² – c² = 6² – 4² = 20.

Phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$ .

c) Theo định nghĩa Hypebol tập hợp các điểm M thỏa mãn |MF₁ – MF₂| = 4 nhận 2 tiêu điểm là F₁(-4; 0) và F₂(4;0), suy ra c = 4.

Ta có:  $\left|M{F}_1+M{F}_2\right|=2a=4\Rightarrow a=2$

Suy ra b² =  $c^2-a^2=16-4=12$

Phương trình chính tắc của Hypebol là: $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$.

Bài 83 trang 99 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 1; - 2), đường trung tuyến kẻ từ B và đường cao kẻ từ C lần lượt có phương trình là 5x + y – 9 = 0 và x + 3y – 5 = 0. Tìm tọa độ của hai điểm B và C.

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của AC, K là hình chiếu của C lên AB.

Do CK vuông góc với AB nên AB có dạng: 3x – y + c = 0.

Thay A(-1; -2) vào phương trình trên ta có: 3. (-1) – (-2) + c = 0 ⇒ c = 1.

Phương trình đường thẳng AB: 3x – y + 1 = 0.

B là giao của AB và BM nên tọa độ của B là nghiệm của hệ:

 $\left\{\begin{array}{l}3x-y+1=0\\ 5x+y-9=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=4\end{array}\right.$

Suy ra B(1; 4)

Do C thuộc CK nên C(5 – 3t; t)

M là trung điểm AC nên M  $\left(\frac{4-3t}{2};\frac{t-2}{2}\right)$

M thuộc BM nên thay tọa độ M vào phương trình BM ta có:

 $5.\frac{4-3t}{2}+\frac{t-2}{2}-9=0\iff t=0$

⇔ 20 – 15t + t – 2 – 18 = 0

⇔ – 14t = 0

⇔ t = 0

Suy ra C(5; 0).

Bài 84 trang 99 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 0) và B(0; 3). Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn MA = 2MB.

Lời giải:

Gọi M(x; y). Ta có $MA=\left|\overrightarrow{AM}\right|=\sqrt{{\left(x-1\right)}^2+y^2}$  ;$MB=\left|\overrightarrow{BM}\right|=\sqrt{x^2+{\left(y-3\right)}^2}$

Do MA = 2MB nên  $\sqrt{{\left(x-1\right)}^2+y^2}=2.\sqrt{x^2+{\left(y-3\right)}^2}$

⇔ (x – 1)² + y² = 4[x² + (y – 3)²]

⇔ x² – 2x + 1 + y² = 4x² + 4y² – 24y + 36

⇔ 3x² + 2x + 3y² – 24y + 35 = 0

⇔ x² + x + y² – 8y + $\frac{35}{3}$  = 0

⇔ x² + 2. $\frac{2}{3}$.x + ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2$ + y² – 2.4.y + 4² + $\frac{35}{3}$  = 0

⇔ ${\left(x+\frac{1}{3}\right)}^2$ + y² – 2.4.y + 4² + $\frac{35}{3}$  = 0

 $\iff {\left(x+\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=\frac{40}{9}$

Phương trình trên là phương trình đường tròn.

Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I $\left(-\frac{1}{3};4\right)$ bán kính $R=\frac{2\sqrt{10}}{3}$ .