Giải SBT Toán 10 trang 13 Tập 2

Bài 20 trang 13 SBT Toán 10 Tập 2:

Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi tổ hợp chập k của n phần tử đó là:

A. Tất cả kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.

B. Một tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A.

C. Một kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.

D. Tất cả tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A.

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n.

Mỗi tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 21 trang 13 SBT Toán 10 Tập 2:

Cho k, n là các số nguyên dương, k ≤ n. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A. $C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}$ .

B. $C_n^k=C_n^{n-k}$ .

C. $C_n^k=\frac{A_n^k}{\left(n-k\right)!}$ .

D. $C_n^k=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Cho k, n là các số nguyên dương, k ≤ n.

Ta có $C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}=C_n^k=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$ .

Do đó phương án A, D đúng.

Theo tính chất của các số $C_n^k$ , ta có $C_n^k=C_n^{n-k}$ .

Do đó phương án B đúng.

Suy ra phương án C sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 22 trang 13 SBT Toán 10 Tập 2:

Tính số đoạn thẳng có hai đầu mút là 2 trong 10 điểm phân biệt.

Lời giải:

Mỗi đoạn thẳng tương ứng với một cặp điểm (không tính thứ tự) chọn trong 10 điểm phân biệt đã cho.

Mỗi cách chọn 2 trong 10 điểm phân biệt là một tổ hợp chập 2 của 10.

Số cách chọn 2 trong 10 điểm phân biệt là: $C_{10}^2=45$  (cách chọn).

Vậy có 45 đoạn thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 23 trang 13 SBT Toán 10 Tập 2:

Cho n điểm phân biệt (n > 1). Biết rằng, số đoạn thẳng có hai đầu mút là 2 trong n điểm đã cho bằng 78. Tìm n.

Lời giải:

Số đoạn thẳng có 2 đầu mút là 2 trong n điểm đã cho là: $C_n^2=\frac{n!}{2!\left(n-2\right)!}$ .

Theo đề, ta có số đoạn thẳng có hai đầu mút là 2 trong n điểm đã cho bằng 78.

Tức là, $\frac{n!}{2!\left(n-2\right)!}=78$ .

Suy ra $\frac{\left(n-2\right)!.\left(n-1\right).n}{2.\left(n-2\right)!}=78$ .

Khi đó $\frac{\left(n-1\right).n}{2}=78$ .

Do đó n² – n = 156.

Vì vậy n² – n – 156 = 0.

Suy ra n = 13 hoặc n = –12.

Vì n > 1 nên ta nhận n = 13.

Vậy n = 13 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Giải SBT Toán 10 trang 14 Tập 2

Bài 24 trang 14 SBT Toán 10 Tập 2:

Tính số đường chéo của một đa giác lồi có 12 đỉnh.

Lời giải:

Đa giác lồi có 12 đỉnh thì có 12 cạnh.

Số cách chọn 2 đỉnh trong 12 đỉnh là một tổ hợp chập 2 của 12.

Suy ra số cách chọn 2 đỉnh trong 12 đỉnh là: $C_{12}^2$  (cách chọn).

Vậy số đường chéo cần tìm là $C_{12}^2-12=54$ .

Bài 25 trang 14 SBT Toán 10 Tập 2:

Cho đa giác lồi n đỉnh (n > 3). Biết rằng, số đường chéo của đa giác đó là 170. Tìm n.

Lời giải:

Số đường chéo của đa giác lồi n đỉnh là một cặp đỉnh (không tính n cạnh) được chọn trong n đỉnh của đa giác lồi nên ta có $C_n^2-n=\frac{n!}{2!.\left(n-2\right)!}-n$ .

Theo đề, ta có số đường chéo của đa giác đó là 170.

Tức là, $\frac{n!}{2!.\left(n-2\right)!}-n=170$ .

Suy ra $\frac{\left(n-2\right)!.\left(n-1\right).n}{2.\left(n-2\right)!}-n=170$ .

Khi đó (n – 1).n – 2n = 340.

Vì vậy n² – 3n – 340 = 0.

Suy ra n = 20 hoặc n = –17.

Vì n > 3 nên ta nhận n = 20.

Vậy n = 20 là giá trị cần tìm.

Bài 26 trang 14 SBT Toán 10 Tập 2:

Bạn Nam đến cửa hàng mua 2 chiếc ghế loại A. Tại cửa hàng, ghế loại A màu xanh có 20 chiếc và ghế loại A màu đỏ có 15 chiếc. Hỏi bạn Nam có bao nhiêu cách chọn mua 2 chiếc ghế loại A?

Lời giải:

Cửa hàng đó có tất cả 20 + 15 = 35 (chiếc ghế).

Mỗi cách chọn 2 chiếc ghế trong tổng số 35 chiếc là một tổ hợp chập 2 của 35.

Vậy số cách chọn 2 chiếc ghế loại A trong tổng số 35 chiếc ghế là: $C_{35}^2=595$ .

Bài 27 trang 14 SBT Toán 10 Tập 2:

Chứng minh rằng:

a) $k{C}_n^k=n{C}_{n-1}^{k-1}$  với 1 ≤ k ≤ n.

b) $\frac{1}{k+1}{C}_n^k=\frac{1}{n+1}{C}_{n+1}^{k+1}$  với 0 ≤ k ≤ n.

Lời giải:

a) Ta có $k{C}_n^k=k.\frac{n!}{k!.\left(n-k\right)!}$

$$\begin{gathered} =\frac{k.n!}{k.\left(k-1\right)!.\left(n-k\right)!} \\ =\frac{n.\left(n-1\right)!}{\left(k-1\right)!.\left[\left(n-1\right)-\left(k-1\right)\right]!} \\ =n{C}_{n-1}^{k-1} \end{gathered}$$

Vậy $k{C}_n^k=n{C}_{n-1}^{k-1}$  với 1 ≤ k ≤ n.

b) Ta có $\frac{1}{k+1}{C}_n^k=\frac{1}{k+1}.\frac{n!}{k!.\left(n-k\right)!}$

$$\begin{gathered} =\frac{n!}{\left(k+1\right)!.\left(n-k\right)!} \\ =\frac{1}{n+1}.\frac{\left(n+1\right).n!}{\left(k+1\right)!.\left[\left(n+1\right)-\left(k+1\right)\right]!} \\ =\frac{1}{n+1}.\frac{\left(n+1\right)!}{\left(k+1\right)!.\left[\left(n+1\right)-\left(k+1\right)\right]!} \\ =\frac{1}{n+1}{C}_{n+1}^{k+1} \end{gathered}$$

Vậy $\frac{1}{k+1}{C}_n^k=\frac{1}{n+1}{C}_{n+1}^{k+1}$  với 0 ≤ k ≤ n.