Bài 55 trang 89 SBT Toán 10 Tập 2: Lập phương trình đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn $\left(C\right):{\left(x+2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=4$  trong mỗi trường hợp sau:

a) ∆ tiếp xúc (C) tại điểm có tung độ bằng 3.

b) ∆ vuông góc với đường thẳng 5x – 12y + 1 = 0.

c) ∆ đi qua điểm D(0; 4).

Lời giải:

Đường tròn có tâm I(-2; 3) và bán kính R = 2.

a) Hoành độ của điểm có tung độ bằng 3 là:

 ${\left(x+2\right)}^2+{\left(3-3\right)}^2=4\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-4\end{array}\right.$

Suy ra ta có 2 điểm M(0; 3) và điểm N(-4; 3).

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng IM là: $\overrightarrow{IM}=\left(2;0\right)$ .

Phương trình đường thẳng IM: 2(x – 0) = 0 hay x = 0.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng IN là: .

Phương trình đường thẳng IN: - 2(x + 4) = 0 hay x + 4 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng là: x = 0 hoặc x + 4 = 0.

b) ∆ vuông góc với đường thẳng 5x – 12y + 1 = 0

nên ∆ có dạng: 12x + 5y + c = 0.

Khoảng cách từ I đến ∆ bằng R nên  

 $\begin{array}{l}\iff \frac{\left|12.\left(-2\right)+5.3+c\right|}{\sqrt{{12}^2+5^2}}=2\\ \iff \left[\begin{array}{l}c=35\\ c=-17\end{array}\right.\end{array}$

Với c = 35 thì phương trình tiếp tuyến là: 12x + 5y + 35 =0

Với c = - 17 thì phương trình tiếp tuyến là: 12x + 5y – 17 =0

c) Gọi H(a ;b) là tiếp điểm.

Do D(0; 4) thuộc  nên DH vuông góc với IH và IH = R = 2.

Ta có: $\overrightarrow{DH}=\left(a;b-4\right)$  và  $\overrightarrow{IH}=\left(a+2;b-3\right)$

⇒ IH =$\left|\overrightarrow{IH}\right|=\sqrt{{\left(a+2\right)}^2+{\left(b-3\right)}^2}=2$

⇔ a² + 4a + 4 + b² – 6b + 9 = 4

⇔ a² + 4a  + b² – 6b + 9 = 0 (1)

Ta lại có:  $\overrightarrow{DH}.\overrightarrow{IH}=0\iff a\left(a+2\right)+\left(b-4\right)\left(b-3\right)=0$

⇔ a² + 2a + b² – 7b + 12 = 0 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:$\left\{\begin{array}{l}{a}^2+4a +b^2–6b+\text{ 9 }=0\\ a^2+2a+b^2–7b+12=0\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}2a +b=33\\ a^2+2a+b^2–7b+12=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=3-\text{2}a \\ a^2+2a+{\left(3-\text{2}a\right)}^2–7\left(3-\text{2}a\right)+12=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=3-\text{2}a \\ a^2+2a+9-12a+4a^2–21+14a+12=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=3-\text{2}a \\ 5a^2+4a=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}a=0;b=3\\ a=-\frac{4}{5};b=\frac{23}{5}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Với a = 0, b = 3 thì H(0; 3)

Suy ra $\overrightarrow{IH}=\left(2;0\right)$

Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 2(x – 0) = 0 ⇔ x = 0.

Với $a=-\frac{4}{5};b=\frac{23}{5}$

Suy ra $\overrightarrow{IH}=\left(\frac{6}{5};\frac{8}{5}\right)=\frac{2}{5}\left(3;4\right)$

Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 3(x – 0) + 4(y – 4) = 0 ⇔ 3x + 4y – 16 = 0.

Vậy có hai đường thẳng ∆ thỏa mãn yêu cầu là x = 0 hoặc 3x + 4y – 16 = 0.