Giải sách bài tập Toán lớp 7 Bài 8: Tính chất ba đường cao của tam giác

Bài 1 trang 63 SBT Toán 7 Tập 2: Trong Hình 7. Hãy chứng minh AC, EK và BD cùng đi qua một điểm.

Lời giải

Gọi M là giao điểm của AC và BD.

Xét tam giác MAB có E là giao điểm của hai đường cao AD và BC nên E là trực tâm của tam giác MAB.

Khi đó ME là đường cao kẻ từ đỉnh M của tam giác AMB, tức là ME ⊥ AB.

Mà EK ⊥ AB.

Do đó EK đi qua điểm M.

Vậy AC, EK và BD cùng đi qua điểm M.

Bài 2 trang 63 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ đường trung tuyến AM. Qua A vẽ đường thẳng d vuông góc với AM. Chứng minh d // BC.

Lời giải

Vì tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC.

Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC nên BM = CM.

Xét ΔAMB và ΔAMC có:

Cạnh AM là cạnh chung,

AB = AC (chứng minh trên),

BM = CM (chứng minh trên).

Do đó ΔAMB = ΔAMC (c.c.c).

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng).

Lại có $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180°$ (hai góc kề bù).

Nên $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\frac{180°}{2}=90°$.

Hay AM ⊥ BC.

Mà d ⊥ AM (giả thiết).

Suy ra d // BC (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Vậy d // BC.

Bài 3 trang 63 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. Vẽ hai đường cao AE và AF của hai tam giác ABC và ACD. Chứng minh góc EAF vuông.

Lời giải

Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Mà AB = AD (vì A là trung điểm của BD).

Suy ra AC = AD = AB.

Xét ΔAEB và ΔAEC có:

$\widehat{AEB}=\widehat{AEC}\left(=90°\right)$,

Cạnh AE là cạnh chung,

AB = AC (chứng minh trên).

Do đó ΔAEB = ΔAEC (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{BA\text{E}}=\widehat{CA\text{E}}$ (hai góc tương ứng).

Xét ΔACF và ΔADF có:

$\widehat{AFC}=\widehat{AFD}\left(=90°\right)$,

Cạnh AF là cạnh chung,

AC = AD (chứng minh trên).

Do đó ΔAFC = ΔAFD (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{FAC}=\widehat{FAD}$ (hai góc tương ứng).

Ta có $\widehat{BA\text{E}}+\widehat{CA\text{E}}+\widehat{FAC}+\widehat{FAD}=180°$

Mà $\widehat{BA\text{E}}=\widehat{CA\text{E}}$, $\widehat{FAC}=\widehat{FAD}$(chứng minh trên).

Suy ra $2\widehat{EAC}+2\widehat{FAC}=180°$

Hay $2\left(\widehat{EAC}+\widehat{FAC}\right)=180°:2=90°$

Do đó $\widehat{EAF}=90°$.

Vậy góc EAF vuông.

Bài 4 trang 63 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=65°,\widehat{B}=54°$. Vẽ trực tâm H của tam giác ABC. Tính góc AHB.

Lời giải

Trong tam giác vuông ABE ta có: $\widehat{E\text{A}B}+\widehat{EBA}=90°$ (trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Mà $\widehat{EBA}=54°$ nên $\widehat{EAB}=90°-\widehat{EBA}=90°-54°=36°$.

Trong tam giác vuông BAF ta có: $\widehat{\text{FA}B}+\widehat{FBA}=90°$ (trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Mà $\widehat{FAB}=65°$ nên $\widehat{FBA}=90°-\widehat{FAB}=90°-65°=25°$.

Trong $∆$AHB ta có: $\widehat{HAB}+\widehat{HBA}+\widehat{AHB}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra $\widehat{AHB}=180°-\widehat{HAB}-\widehat{HBA}$$=180°-36°-25°=119°$.

Vậy $\widehat{AHB}=119°.$

Bài 5 trang 63 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có góc A nhọn và H là trực tâm. Cho biết $\widehat{BHC}=150°$ . Tìm các góc của tam giác ABC.

Lời giải

Vẽ hai đường cao BE và CF của tam giác ABC.

Trong $∆$BHC có: $\widehat{HCB}+\widehat{HBC}+\widehat{CHB}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra $\widehat{HBC}+\widehat{HCB}=180-\widehat{BHC}$$=180°-150°=30°$

Trong $∆$CBE vuông tại E có: $\widehat{ECB}+\widehat{EBC}=90°$ (trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Nên $\widehat{ECB}=90°-\widehat{EBC}$    (1)

Trong $∆$CBF vuông tại F có: $\widehat{ECB}+\widehat{EBC}=90°$ (trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Nên $\widehat{ECB}=90°-\widehat{EBC}$    (2)

Từ (1) và (2) ta có:

$\widehat{FBC}+\widehat{ECB}=180°-\left(\widehat{EBC}+\widehat{FCB}\right)$

$=180°-\left(\widehat{HBC}+\widehat{HCB}\right)=180°-30°=150°.$

Hay $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=150°$

Do tam giác ABC cân tại A nên ta có:

$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{150°}{2}=75°$.

Trong $∆$ABC có: $\widehat{ACB}+\widehat{ABC}+\widehat{CAB}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra $\widehat{A}=180°-\widehat{ACB}-\widehat{ABC}$$=180°-75°-75°=30°$.

Vậy $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=75°$, $\widehat{A}=30°.$