Giải sách bài tập Toán lớp 7 Bài 3: Tam giác cân

Bài 1 trang 49 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác MNP cân tại M. Kể tên các cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đỉnh, góc ở đáy của tam giác cân đó.

Lời giải

Tam giác MNP cân tại M có: các cạnh bên là MN và MP; cạnh đáy là NP; góc ở đỉnh là $\widehat{M}$; góc ở đáy là $\widehat{N}$ và $\widehat{P}$.

Bài 2 trang 49 SBT Toán 7 Tập 2:  

a) Tam giác có hai góc bằng 60° có phải là tam giác cân hay không? Hãy tìm góc còn lại của tam giác này.

b) Tam giác có hai góc bằng 45° có phải là tam giác cân hay không? Hãy tìm góc còn lại của tam giác này.

Lời giải

a) Giả sử tam giác ABC có $\widehat{B}=\widehat{C}=60°$ như hình vẽ dưới đây:

Xét $∆$ABC có: $\stackrel{︿}{\text{A}}+\stackrel{︿}{\text{B}}+\stackrel{︿}{\text{C}}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{A}=180°-\widehat{C}-\widehat{B}$

Do đó $\stackrel{︿}{\text{A}}=180°-60°-60°=60°$

Tam giác ABC có $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60°$ nên là tam giác đều.

Vậy tam giác có hai góc bằng 60° thì góc còn lại là 60°. Tam giác này vừa là tam giác đều vừa là tam giác cân tại cả ba đỉnh.

b) Giả sử tam giác MNP có $\widehat{N}=\widehat{P}=45°$ như hình vẽ dưới đây.

Tam giác MNP có $\widehat{N}=\widehat{P}=45°$ nên là tam giác cân tại M.

Xét $∆$MNP có: $\stackrel{︿}{M}+\stackrel{︿}{N}+\stackrel{︿}{P}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra $\widehat{M}=180°-\widehat{N}-\widehat{P}$

Do đó $\stackrel{︿}{M}=180°-45°-45°=90°$

Tam giác MNP cân tại M có $\widehat{M}=90°$ nên là vừa là tam giác cân vừa là tam giác vuông.

Vậy tam giác có hai góc bằng 45° thì góc còn lại là 90°. Tam giác này là tam giác vuông cân.

Bài 3 trang 49 SBT Toán 7 Tập 2: 

Trong Hình 6, tính góc B và góc C biết $\widehat{A}=138°.$ 

Lời giải

Vì $∆$ABC có AB = AC (giả thiết) nên $∆$ABC cân tại A.

Suy ra $\stackrel{︿}{\text{C}}=\stackrel{︿}{\text{B}}$ (tính chất tam giác cân).

Xét $∆$ABC có: $\stackrel{︿}{\text{A}}+\stackrel{︿}{\text{B}}+\stackrel{︿}{\text{C}}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{B}=\widehat{C}=\frac{180°-\widehat{A}}{2}$$=\frac{180°-138°}{2}=21°$.

Vậy $\stackrel{︿}{\text{C}}=\stackrel{︿}{\text{B}}=21°.$

Bài 4 trang 49 SBT Toán 7 Tập 2:

Cho Hình 7, biết AB = AC và BE là tia phân giác của $\widehat{ABC}$; CF là tia phân giác của $\widehat{ACB}$. Chứng minh rằng:

a) ΔABE = ΔACF;

b) Tam giác OEF cân.

Lời giải

Chứng minh (Hình 7):

a) Vì AB = AC (giả thiết) nên tam giác ABC cân tại A.

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (tính chất)          (1)

Ta có BE là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ (giả thiết)

Nên $\widehat{ABE}=\widehat{EBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$ (tính chất tia phân giác) (2)

Lại có CF là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ (giả thiết)

Nên $\widehat{ACF}=\widehat{FCB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$ (tính chất tia phân giác) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat{ACF}=\widehat{FCB}=\widehat{ABE}=\widehat{EBC}$.

Xét ΔABE và ΔACF có:

$\widehat{A}$ là góc chung,

AB = BC (giả thiết),

$\widehat{ABE}=\widehat{ACF}$ (chứng minh trên).

Do đó ΔABE = ΔACF (g.c.g).

Vậy ΔABE = ΔACF.

b) Vì ΔABE = ΔACF (chứng minh câu a).

Nên BE = CF (hai cạnh tương ứng).

Xét ΔOBC có $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}$ (do $\widehat{EBC}=\widehat{FCB}$)

Do đó ΔOBC cân tại O.

Suy ra OB = OC (tính chất tam giác cân).

Ta có: BE = OB + OE, CF = OC + OF.

Mà BE = CF, OB = OC (chứng minh trên).

Suy ra OE = OF

Do đó ΔOEF cân tại O.

Vậy tam giác OEF cân tại O.

Bài 5 trang 49 SBT Toán 7 Tập 2:   

Cho tam giác MEF cân tại M có $\widehat{M}=80°$.

a) Tính $\widehat{E},\widehat{F}.$ 

b) Gọi N, P lần lượt là trung điểm của ME, MF. Chứng minh rằng tam giác MNP cân.

c) Chứng minh rằng NP // EF

Lời giải

a) Vì $∆$MFE cân tại M (giả thiết).

Nên $\stackrel{︿}{E}=\stackrel{︿}{F}$ (tính chất tam giác cân).

Xét $∆$MEF có: $\stackrel{︿}{M}+\stackrel{︿}{E}+\stackrel{︿}{F}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{E}=\widehat{F}=\frac{180°-\widehat{M}}{2}$$=\frac{180°-80°}{2}=50°$.

Vậy $\stackrel{︿}{E}=\stackrel{︿}{F}=50°.$

b) Vì $∆$MEF cân tại M (giả thiết) nên ME = MF     (1)

Vì N là trung điểm của ME nên $MN=NE=\frac{ME}{2}$   (2)

Vì P là trung điểm của MF nên $MP=PF=\frac{MF}{2}$      (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra MN = NE = MP = PE.

Tam giác MNP có MN = MP (chứng minh trên)

Do đó tam giác MNP cân tại M.

Vậy tam giác MNP cân tại M.

c) Vì tam giác MNP cân tại M (chứng minh câu b).

Nên $\widehat{MNP}=\widehat{MPN}$ (tính chất tam giác cân)

Xét $∆$MNP có: $\widehat{M}+\widehat{MNP}+\widehat{MPN}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra $\widehat{MNP}=\widehat{MPN}=\frac{180°-\widehat{M}}{2}$$=\frac{180°-80°}{2}=50°$.

Ta có $\widehat{MNP}=\widehat{E}$ (cùng bằng 50°).

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Suy ra NP // EF

Vậy NP // EF.

Bài 6 trang 50 SBT Toán 7 Tập 2:   

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC tại N, tia phân giác của góc C cắt AB tại M. Gọi O là giao điểm của BN và CM.

a) Tính số đo các góc OBC, OCB.

b) Chứng minh rằng tam giác OBC cân.

c) Tính số đo góc BOC.

Lời giải

a) Vì $∆$ABC vuông cân tại A (giả thiết)

Nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45°$

Vì BN là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ (giả thiết)

Nên $\widehat{ABN}=\widehat{NBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}=\frac{45°}{2}=22,5°$ 

Hay $\widehat{OBC}=22,5°$

Vì CM là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ (giả thiết)

Nên $\widehat{ACM}=\widehat{MCB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}=\frac{45°}{2}=22,5°$ 

Hay $\widehat{OCB}=22,5°$

Vậy $\widehat{OBC}=22,5°;\widehat{OCB}=22,5°.$

b) Xét ∆OBC có $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}$ (cùng bằng 22,5°).

Nên tam giác OBC cân tại O.

Vậy tam giác OBC cân tại O.

c) Xét $∆$OBC có: $\widehat{OBC}+\widehat{OCB}+\widehat{BOC}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác).

Nên $\widehat{BOC}=180°-\widehat{OBC}-\widehat{OCB}$

Suy ra $\widehat{BOC}=180°-22,5°-22,5°=135°$

Vậy $\widehat{BOC}=135°.$