Mục lục Giải bài tập Toán 7 Bài 6: Dãy tỉ số bằng nhau

Hoạt động khởi động

Khởi động trang 55 Toán lớp 7 Tập 1: Có hai tỉ lệ thức:$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$ và $\frac{2}{4}=\frac{3}{6}$.

Làm thế nào để biểu diễn sự bằng nhau của ba tỉ số $\frac{1}{2};\frac{2}{4};\frac{3}{6}$?

Lời giải:

Ta thấy $\frac{1}{2}=\frac{2}{4};\frac{2}{4}=\frac{3}{6}$ nên ta có thể viết là: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}$

1. Khái niệm

Hoạt động 1 trang 55 Toán lớp 7 Tập 1: So sánh từng cặp tỉ số trong ba tỉ số sau: $\frac{4}{6};\frac{8}{12};\frac{-10}{-15}$

Lời giải:

Ta có:

$\frac{4}{6}=\frac{4:2}{6:2}=\frac{2}{3}$;

$\frac{8}{12}=\frac{8:4}{12:4}=\frac{2}{3};$

$\frac{-10}{-15}=\frac{(-10):\left(-5\right)}{(-15):(-5)}=\frac{2}{3}.$

Do đó: $\frac{4}{6}=\frac{8}{12}$; $\frac{4}{6}=\frac{-10}{-15}$ và $\frac{8}{12}=\frac{-10}{-15}.$

Luyện tập 1 trang 55 Toán lớp 7 Tập 1: Viết dãy tỉ số bằng nhau từ các tỉ số: $\frac{1}{4};\frac{8}{32};\frac{13}{54};\frac{-9}{-36}$

Lời giải:

Ta có: $\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$

$\frac{8}{32}=\frac{8:8}{32:8}=\frac{1}{4}$

$\frac{13}{54}=\frac{13:13}{54:13}=\frac{1}{4}$

$\frac{-9}{-36}=\frac{\left(-9\right):\left(-9\right)}{\left(-36\right):\left(-9\right)}=\frac{1}{4}$.

Do đó $\frac{8}{32}=\frac{13}{54}=\frac{-9}{-36}=\frac{1}{4}$

Vậy ta có dãy tỉ số bằng nhau $\frac{1}{4}=\frac{8}{32}=\frac{13}{54}=\frac{-9}{-36}.$

2. Tính chất

Hoạt động 2 trang 56 Toán lớp 7 Tập 1:

a) Cho tỉ lệ thức $\frac{6}{10}=\frac{9}{15}$

So sánh hai tỉ số $\frac{6+9}{10+15}$ và $\frac{6-9}{10-15}$ với các tỉ số trong tỉ lệ thức đã cho.

b) Cho tỉ lệ thức $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ với b + d ≠ 0 và b – d ≠ 0.

Gọi giá trị chung của các tỉ số đã cho là k, tức là: k = $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.

- Tính a theo b và k, tính c theo d và k.

- Tính tỉ số $\frac{a+c}{b+d}$ và $\frac{a-c}{b-d}$ theo k.

- So sánh mỗi tỉ số $\frac{a+c}{b+d}$ và $\frac{a-c}{b-d}$ với các tỉ số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$.

Lời giải:

a) Ta có:

$\frac{6+9}{10+15}=\frac{15}{25}$

$\frac{6-9}{10-15}=\frac{-3}{-5}$

Xét hai tỉ số: $\frac{15}{25}$ với $\frac{6}{10}$.

Ta thấy: 15.10 = 150 và 25.6 = 150 nên $\frac{15}{25}$ = $\frac{6}{10}$.

Mà $\frac{6}{10}$ = $\frac{9}{15}$ nên $\frac{15}{25}$ = $\frac{9}{15}$.

Xét hai tỉ số $\frac{-3}{-5}$ với $\frac{6}{10}$.

Ta thấy: (–3).10 = –30 và (–5).6 = –30 nên $\frac{-3}{-5}$ = $\frac{6}{10}$.

Mà$\frac{6}{10}$ = $\frac{9}{15}$ nên $\frac{-3}{-5}$ = $\frac{9}{15}$.

Do đó, $\frac{6}{10}=\frac{9}{15}$ = $\frac{15}{25}$= $\frac{-3}{-5}$.

Hay $\frac{6}{10}=\frac{9}{15}=\frac{6+9}{10+15}=\frac{6-9}{10-15}$

b)

- Ta có: $k=\frac{a}{b}$ nên a = b.k; $k=\frac{c}{d}$ nên c = k.d

- Ta có: $\frac{a+c}{b+d}=\frac{b.k+d.k}{b+d}=\frac{k\left(b+d\right)}{b+d}=k$ (do b + d ≠ 0)

$\frac{a-c}{b-d}=\frac{b.k-d.k}{b-d}=\frac{k\left(b-d\right)}{b-d}=k$ (do b – d ≠ 0)

Vậy: $\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$

$\frac{a-c}{b-d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$

Luyện tập 2 trang 57 Toán lớp 7 Tập 1: Tìm hai số x, y biết: x : 1,2 = y : 0,4 và x – y = 2.

Lời giải:

Từ x : 1,2 = y : 0,4 ta có: $\frac{x}{\mathrm{1,2}}=\frac{y}{\mathrm{0,4}}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

$\frac{x}{\mathrm{1,2}}=\frac{y}{\mathrm{0,4}}$= $\frac{x-y}{\mathrm{1,2}-\mathrm{0,4}}=\frac{2}{\mathrm{0,8}}=\frac{5}{2}$

Ta có:

$\frac{x}{\mathrm{1,2}}=\frac{5}{2}$ nên $x=\frac{\mathrm{1,2.5}}{2}=3$

$\frac{y}{\mathrm{0,4}}=\frac{5}{2}$ nên y =$\frac{\mathrm{0,4.5}}{2}=1$

Vậy x = 3; y = 1.

Luyện tập 3 trang 57 Toán lớp 7 Tập 1: Tìm ba số x; y; z biết: x; y; z tỉ lệ với ba số 2; 3; 4 và x – y – z = 2.

Lời giải:

Vì ba số x; y; z tỉ lệ với ba số 2; 3; 4 nên ta có dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=\frac{x-y-z}{2-3-4}=\frac{2}{-5}$

Ta có:

$\frac{x}{2}=\frac{2}{-5}$ suy ra  x = $\frac{2.2}{-5}=\frac{-4}{5}$

$\frac{y}{3}=\frac{2}{-5}$ suy ra  y = $\frac{3.2}{-5}=\frac{-6}{5}$

$\frac{z}{4}=\frac{2}{-5}$ suy ra  z = $\frac{4.2}{-5}=\frac{-8}{5}$

Vậy x = $\frac{-4}{5}$; y = $\frac{-6}{5}$; z = $\frac{-8}{5}$.

3. Ứng dụng

Luyện tập 4 trang 57 Toán lớp 7 Tập 1: Ba máy bơm cùng bơm nước vào một bể bơi không có nước, có dạng hình hộp chữ nhật, với các kích thước bề mặt là 12m, 10m, 1,2m. Lượng nước mà ba máy bơm được tỉ lệ với ba số 7; 8; 9. Mỗi máy cần bơm bao nhiêu mét khối nước để đầy bể bơi.

Lời giải:

Thể tích bể bơi là:

12.10.1,2 = 144 (m³)

Gọi số mét khối nước ba máy bơm bơm được đến khi đầy bể là x; y; z (m³) (x, y, z > 0)

Vì phải bơm vào bể bơi có thể tích là 144m³ nên ta có: x + y + z = 144

Vì lượng nước mà ba máy bơm bơm được tỉ lệ với ba số 7; 8; 9 nên ta có dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{x}{7}=\frac{y}{8}=\frac{z}{9}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

$\frac{x}{7}=\frac{y}{8}=\frac{z}{9}=\frac{x+y+z}{7+8+9}=\frac{144}{24}=6$

Ta có:

$\frac{x}{7}=6$ suy ra x = 6.7 = 42 (m³)

$\frac{y}{8}=6$ suy ra y = 6.8 = 48 (m³)

$\frac{z}{9}=6$ suy ra z = 6.9 = 54 (m³)

Vậy máy bơm thứ nhất bơm được 42 m³ nước, máy bơm thứ hai bơm được 48 m³ nước, máy bơm thứ ba bơm được 54 m³ nước.

Bài tập

Bài 1 trang 58 Toán lớp 7 Tập 1: Cho tỉ lệ thức $\frac{x}{7}=\frac{y}{2}$. Tìm hai số x; y biết: 

a) x + y = 18

b) x – y = 20.

Lời giải:

a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{7}=\frac{y}{2}=\frac{x+y}{7+2}=\frac{18}{9}=2$

Ta có:

$\frac{x}{7}=2$ suy ra x = 2.7 = 14

$\frac{y}{2}=2$ suy ra y = 2.2 = 4.

Vậy x = 14; y = 4.

b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{7}=\frac{y}{2}=\frac{x-y}{7-2}=\frac{20}{5}=4$

Ta có:

$\frac{x}{7}=4$ suy ra x = 4.7 = 28

$\frac{y}{2}=4$ suy ra y = 2.4 = 8.

Vậy x = 28; y = 8.

Bài 2 trang 58 Toán lớp 7 Tập 1: Cho dãy tỉ số bằng nhau $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}$. Tìm ba số x; y; z biết: 

a) x + y + z = 180;

b) x + y – z = 8

Lời giải:

a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=\frac{x+y+z}{3+4+5}=\frac{180}{3+4+5}=\frac{180}{12}=15$

Ta có:

$\frac{x}{3}$ = 15 suy ra x = 15.3 = 45

$\frac{y}{4}$ = 15 suy ra y = 15.4 = 60

$\frac{z}{5}$ = 15 suy ra z = 15.5 = 75

Vậy x = 45; y = 60; z = 75.

b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=\frac{x+y-z}{3+4-5}=\frac{8}{3+4-5}=\frac{8}{2}=4$

$\frac{x}{3}$ = 4 suy ra x = 4.3 = 12

$\frac{y}{4}$ = 4 suy ra y = 4.4 = 16

$\frac{z}{5}$ = 4 suy ra z = 4.5 = 20

Vậy x = 12; y = 16; z = 20.

Bài 3 trang 58 Toán lớp 7 Tập 1: Cho ba số x; y; z sao cho: $\frac{x}{3}=\frac{y}{4};\frac{y}{5}=\frac{z}{6}$

a) Chứng minh: $\frac{x}{15}=\frac{y}{20}=\frac{z}{24}$.

b) Tìm ba số x; y; z biết x – y + z = –76.

Lời giải:

a) Từ tỉ lệ thức $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}$

Suy ra $\frac{x}{3}.\frac{1}{5}=\frac{y}{4}.\frac{1}{5}$.

Do đó: $\frac{x}{15}=\frac{y}{20}$     (1)

Từ tỉ lệ thức $\frac{y}{5}=\frac{z}{6}$.

Suy ra $\frac{y}{5}.\frac{1}{4}=\frac{z}{6}.\frac{1}{4}$.

Do đó: $\frac{y}{20}=\frac{z}{24}$    (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\frac{x}{15}=\frac{y}{20}=\frac{z}{24}$

Vậy $\frac{x}{15}=\frac{y}{20}=\frac{z}{24}$

b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{15}=\frac{y}{20}=\frac{z}{24}=\frac{x-y+z}{15-20+24}=\frac{-76}{19}=-4$

Ta có:

$\frac{x}{15}=-4$ suy ra x = (–4).15 = –60

$\frac{y}{20}$ = –4 suy ra y = (–4).20 = –80

$\frac{z}{24}$ = –4 suy ra z = (–4).24 = –96.

Vậy x = –60; y = –80; z = –96.

Bài 4 trang 58 Toán lớp 7 Tập 1: Tỉ lệ phần trăm của lượng khí oxygen thải ra môi trường và lượng khí carbon dioxide hấp thụ trong quá trình quang hợp của lá cây Atriplex rosea (một loài thực vật thân mềm có hoa giống hoa cúc) ở nhiệt độ 27°C và trong điều kiện bình thường là 21%.

(Nguồn: A.Kaplan and O.Bjokman, Ratio of CO₂ Uptake to O₂ Evolution during Photosynthesis in Higher Plants, Z.Pflanzanphysiol. Bd. 96. S(1980), p. 185 – 188)

Tính lượng khí oxygen thải ra môi trường và lượng khí carbon dioxide hấp thụ trong quá trình quang hợp của lá cây Atriplex rosea ở nhiệt độ 27°C và trong điều kiện bình thường, biết lượng khí carbon dioxide lá cây hấp thụ nhiều hơn lượng khí oxygen thải ra môi trường là 15,8 g.

Lời giải:

Gọi x (g), y (g) lần lượt là lượng khí oxygen thải ra môi trường và lượng khí carbon dioxide hấp thụ trong quá trình quang hợp của lá cây Atriplex rosea ở nhiệt độ 27°C và trong điều kiện bình thường (x, y > 0).

Do tỉ lệ phần trăm của lượng khí oxygen và lượng khí carbon dioxide hấp thụ của lá cây là 21% nên ta có:

$\frac{x}{y}.100\%=21\%$ hay $\frac{x}{y}=\frac{21}{100}$ 

Do đó $\frac{x}{21}=\frac{y}{100}$ (tính chất tỉ lệ thức).

Vì lượng khí carbon dioxide lá cây hấp thụ nhiều hơn lượng khí oxygen thải ra môi trường là 15,8 g nên y – x = 15,8 (g).

Từ tỉ lệ thức $\frac{x}{21}=\frac{y}{100}$, áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{21}=\frac{y}{100}=\frac{y-x}{100-21}=\frac{15,8}{79}=0,2$

Ta có:

$\frac{x}{21}=0,2$suy ra x = 21.0,2 = 4,2 (thoả mãn);

$\frac{y}{100}=0,2$ suy ra y = 100.0,2 = 20 (thoả mãn).

Vậy lượng khí oxygen lá cây thải ra môi trường là: 4,2 g;

Lượng khí carbon dioxide lá cây hấp thụ là: 20 g.

Bài 5 trang 58 Toán lớp 7 Tập 1: Một mảnh vườn có dạng hình chữ nhật với tỉ số giữa độ dài hai cạnh của nó bằng $\frac{3}{5}$ và chu vi bằng 48 m. Tính diện tích mảnh vườn đó.

Lời giải:

a) Gọi x (m) và y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng mảnh vườn (x > y > 0)

Nửa chu vi mảnh vườn là: 48 : 2 = 24 (m)

Do nửa chu vi bằng 24 m nên ta có: x + y = 24.

Vì tỉ số độ dài giữa hai cạnh của nó bằng $\frac{3}{5}$ nên $\frac{y}{x}=\frac{3}{5}$.

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức ta có:

$\frac{y}{3}=\frac{x}{5}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{5}=\frac{y}{3}=\frac{x+y}{5+3}=\frac{24}{8}=3$

Ta có

$\frac{x}{5}=3$suy ra x = 5.3 = 15 (thoả mãn);

$\frac{y}{3}=3$ suy ra y = 3.3 = 9 (thoả mãn).

Chiều dài mảnh vườn là 15 m; chiều rộng mảnh vườn là 9 m.

b) Diện tích mảnh vườn là: 15.9 = 135 (m²).

Vậy diện tích mảnh vườn là 135 m².

Bài 6 trang 58 Toán lớp 7 Tập 1: Trong một đợt quyên góp sách ủng hộ các bạn vùng lũ lụt, số sách mà ba bạn lớp 7A; 7B; 7C quyên góp được tỉ lệ với ba số 5; 6; 8. Tính số sách cả ba lớp đã quyên góp, biết số sách lớp 7C quyên góp được nhiều hơn số sách của lớp 7A quyên góp là 24 quyển.

Lời giải:

Gọi x, y, z (quyển) lần lượt là số sách ba lớp 7A; 7B; 7C quyên góp được (x; y; z ∈ ℕ*)

Vì số sách ba lớp 7A, 7B, 7C quyên góp được tỉ lệ với 5; 6; 8 nên ta có dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{x}{5}=\frac{y}{6}=\frac{z}{8}$.

Vì lớp 7C quyên góp được nhiều hơn lớp 7A là 24 quyển nên z – x = 24

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{5}=\frac{y}{6}=\frac{z}{8}=\frac{z-x}{8-5}=\frac{24}{3}=8$

Ta có:

$\frac{x}{5}=8$ suy ra x = 8.5 = 40 (thoả mãn);

$\frac{y}{6}=8$ suy ra y = 8.6 = 48 (thoả mãn);

$\frac{z}{8}=8$ suy ra z = 8.8 = 64 (thoả mãn).

Vậy số sách lớp 7A quyên góp được là 40 quyển;

Số sách lớp 7B quyên góp được là 48 quyển;

Số sách lớp 7C quyên góp được là 64 quyển.

Bài 7 trang 58 Toán lớp 7 Tập 1: Trên quần đảo Trường Sa của Việt Nam, cây phong ba, cây bàng vuông, cây mù u là những loài cây có sức sống mãnh liệt, chịu đựng được tàn phá của thiên nhiên, biển mặn và có thời gian sinh trường lâu. Nhân ngày tết trồng cây, các chiến sĩ đã trồng tồng cộng 36 cây bàng vuông, cây phong ba và cây mù u trên các đảo. Số bàng vuông, cây phong ba và cây mù u đã trồng tỉ lệ với ba số 5; 4; 3. Hỏi các chiến sĩ đã trồng mỗi loại bao nhiêu cây?

Lời giải:

Gọi x, y, z lần lượt là số cây bàng vuông, cây phong ba và cây mù u các chiến sĩ đã trồng (x; y; z ∈ ℕ*).

Vì các chiến sĩ đã trồng tổng cộng 36 cây bàng vuông, cây phong ba và cây mù u trên các đảo nên ta có: x + y + z = 36.

Vì số cây bàng vuông, cây phong ba và cây mù u đã trồng tỉ lệ với ba số 5; 4; 3 nên ta có: $\frac{x}{5}=\frac{y}{4}=\frac{z}{3}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{5}=\frac{y}{4}=\frac{z}{3}=\frac{x+y+z}{5+4+3}=\frac{36}{12}=3$

Ta có:

$\frac{x}{5}=3$ suy ra x = 3.5 = 15 (thoả mãn);

$\frac{y}{4}=3$ suy ra y = 3.4 =12 (thoả mãn);

$\frac{z}{3}=3$ suy ra z = 3.3 = 9 (thoả mãn).

Vậy các chiến sĩ đã trồng 15 cây bàng vuông; 12 cây phong ba và 9 cây mù u.