Mục lục Giải bài tập Toán 7 Bài 3: Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

Bài giảng Toán 7 Bài 3: Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

Hoạt động khởi động

Khởi động trang 17 Toán lớp 7 Tập 1:

Khối lượng Trái Đất khoảng 5,9724 . 10²⁴ kg.

Khối lượng Sao Hỏa khoảng 6,417 . 10²³ kg.

(Nguồn: https://www.nasa.gov)

Khối lượng Sao Hỏa bằng khoảng bao nhiêu lần khối lượng Trái Đất?

Lời giải:

Khối lượng Sao Hỏa bằng số lần khối lượng Trái Đất là:

$\frac{6,417.{10}^{23}}{5,9724.{10}^{24}}=\frac{6,417}{5,9724.10}=\frac{6,417}{59,724}\approx 0,1$ (lần).

Vậy khối lượng Sao Hỏa bằng khoảng 0,1 lần khối lượng Trái Đất.

1. Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên

Hoạt động 1 Trang 17 Toán lớp 7 Tập 1: Viết các tích sau dưới dạng lũy thừa và nêu cơ số, số mũ của chúng:

a) 7 . 7 . 7 . 7. 7;

b)  

    n thừa số 12

Lời giải:

a) Ta có: 7 . 7 . 7 . 7. 7 = 7⁵.

Lũy thừa 7⁵ có cơ số là 7 và số mũ là 5.

b) 

Lũy thừa 12ⁿ có cơ số là 12 và số mũ là n.

Luyện tập 1 trang 18 Toán lớp 7 Tập 1: Tính thể tích một bể nước dạng hình lập phương có độ dài cạnh là 1,8 m.

Lời giải:

Thể tích một bể nước dạng hình lập phương có độ dài cạnh là 1,8 m là:

1,8 . 1,8 . 1,8 = 1,8³ = 5,832 (m³)

Vậy thể tích một bể nước dạng hình lập phương có độ dài cạnh là 1,8 m là 5,832 m³.

Luyện tập 2 trang 18 Toán lớp 7 Tập 1: Tính:

${\left(\frac{-3}{4}\right)}^3;{\left(\frac{1}{2}\right)}^5$ .

Lời giải:

Ta có:

 ${\left(\frac{-3}{4}\right)}^3=\frac{-3}{4}.\frac{-3}{4}.\frac{-3}{4}=\frac{(-3).(-3).(-3)}{4.4.4}=\frac{-27}{64}$;

${\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1.1.1.1.1}{2.2.2.2.2}=\frac{1}{32}$.

Vậy ${\left(\frac{-3}{4}\right)}^3=\frac{-27}{64}$; ${\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{1}{32}$.

2. Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số

Hoạt động 2 trang 18 Toán lớp 7 Tập 1: Viết kết quả của mỗi phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:

a) 2^m . 2ⁿ;

b) 3^m : 3ⁿ với m ≥ n.

Lời giải:

a) 2^m . 2ⁿ = 2^{m + n}.

b) 3^m : 3ⁿ = 3^{m – n}  (với m ≥ n).

Luyện tập 3 trang 19 Toán lớp 7 Tập 1: Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:

a) $\frac{6}{5}.{\left(\mathrm{1,2}\right)}^8$;

b) ${\left(\frac{-4}{9}\right)}^7:\frac{16}{81}$.

Lời giải:

a) $\frac{6}{5}.{(1,2)}^8=1,2.{\left(1,2\right)}^8$

$={\left(1,2\right)}^{1+8}={\left(1,2\right)}^9$;

b) ${\left(\frac{-4}{9}\right)}^7:\frac{16}{81}={\left(\frac{-4}{9}\right)}^7:{\left(\frac{-4}{9}\right)}^2$

$={\left(\frac{-4}{9}\right)}^{7-2}={\left(\frac{-4}{9}\right)}^5$.

3. Lũy thừa của một lũy thừa

Hoạt động 3 trang 19 Toán lớp 7 Tập 1: So sánh:${\left({15}^3\right)}^2$ và ${15}^{3.2}.$

Lời giải:

Ta có: ${\left({15}^3\right)}^2={15}^3.{15}^3={15}^{3+3}={15}^{3.2}$.

Vậy ${\left({15}^3\right)}^2={15}^{3.2}$.

Luyện tập 4 trang 19 Toán lớp 7 Tập 1: Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng lũy thừa của a:

a) ${\left[{\left(-\frac{1}{6}\right)}^3\right]}^4$ với $a=-\frac{1}{6}$;

b) ${\left[{\left(-\mathrm{0,2}\right)}^4\right]}^5$ với a = − 0,2.

Lời giải:

a) Ta có: ${\left[{\left(-\frac{1}{6}\right)}^3\right]}^4={\left(-\frac{1}{6}\right)}^{3.4}={\left(-\frac{1}{6}\right)}^{12}$

Với $a=-\frac{1}{6}$ thì kết quả của phép tính ${\left[{\left(-\frac{1}{6}\right)}^3\right]}^4$ là ${\left(a^3\right)}^4$ hay a¹².

b) Ta có: ${\left[{\left(-0,2\right)}^4\right]}^5={\left(-0,2\right)}^{4.5}={\left(-0,2\right)}^{20}$

Với a = − 0,2 thì kết quả của phép tính ${\left[{\left(-0,2\right)}^4\right]}^5$ là ${\left(a^4\right)}^5$ hay a²⁰.

Bài tập

Bài 1 trang 20 Toán lớp 7 Tập 1: Tìm số thích hợp cho $\boxed{?}$ trong bảng sau:

Lời giải:

+) Lũy thừa ${\left(-\frac{3}{2}\right)}^4$ có cơ số $\frac{-3}{4}$ và số mũ là 4

Ta có: ${\left(-\frac{3}{2}\right)}^4=\left(-\frac{3}{2}\right).\left(-\frac{3}{2}\right).\left(-\frac{3}{2}\right).\left(-\frac{3}{2}\right)$

$=\frac{(-3).(-3).(-3).(-3)}{2.2.2.2}$

 .$=\frac{{(-3)}^4}{2^4}=\frac{81}{16}$

+) Lũy thừa (0,1)³ có số là 0,1 và số mũ là 3

Ta có: (0,1)³ = 0,001.

+) Lũy thừa có cơ số là 1,5 và số mũ là 2 thì có lũy thừa là 1,5².

Ta có: 1,5² = 2,25.

+) Lũy thừa có cơ số là $\frac{1}{3}$ và số mũ là 4 thì có lũy thừa là ${\left(\frac{1}{3}\right)}^4$.

Ta có: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^4=\left(\frac{1}{3}\right).\left(\frac{1}{3}\right).\left(\frac{1}{3}\right).\left(\frac{1}{3}\right)$

$=\frac{1.1.1.1}{3.3.3.3}=\frac{1^4}{3^4}=\frac{1}{81}$.

+) Lũy thừa có cơ số là 2, giá trị là 1 thì có số mũ là 0.

Khi đó, lũy thừa cần tìm là 2⁰.

Vậy ta có bảng sau:

a) (− 2)⁴ . (− 2)⁵ và (− 2)¹² : (− 2)³;

b) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2.{\left(\frac{1}{2}\right)}^6$ và ${\left[{\left(\frac{1}{2}\right)}^4\right]}^2$;

c) (0,3)⁸ : (0,3)² và ${\left[{\left(\mathrm{0,3}\right)}^2\right]}^3$;

d) ${\left(-\frac{3}{2}\right)}^5:{\left(-\frac{3}{2}\right)}^2$ và ${\left(\frac{3}{2}\right)}^3$.

Lời giải:

a) Ta có: (− 2)⁴ . (− 2)⁵ = (− 2)^{4 + 5} = (− 2)⁹;

(− 2)¹² : (− 2)³ = (− 2)^{12 – 3} = (− 2)⁹.

Do đó: (− 2)⁴ . (− 2)⁵ = (− 2)¹² : (− 2)³ (vì cùng bằng với (–2)⁹).

Vậy (− 2)⁴ . (− 2)⁵ = (− 2)¹² : (− 2)³.

b) Ta có: 

${\left(\frac{1}{2}\right)}^2.{\left(\frac{1}{2}\right)}^6={\left(\frac{1}{2}\right)}^{2+6}={\left(\frac{1}{2}\right)}^8$;

${\left[{\left(\frac{1}{2}\right)}^4\right]}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^{4.2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^8$.

Do đó ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2.{\left(\frac{1}{2}\right)}^6={\left[{\left(\frac{1}{2}\right)}^4\right]}^2$ (vì cùng bằng ${\left(\frac{1}{2}\right)}^8$).

Vậy ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2.{\left(\frac{1}{2}\right)}^6={\left[{\left(\frac{1}{2}\right)}^4\right]}^2$.

c) Ta có:

(0,3)⁸ : (0,3)² = (0,3)^{8 – 2} = (0,3)⁶;

${\left[{(0,3)}^2\right]}^3={(0,3)}^{2.3}={(0,3)}^6$.

Do đó (0,3)⁸ : (0,3)² = ${\left[{(0,3)}^2\right]}^3$ (vì cùng bằng (0,3)⁶)

Vậy (0,3)⁸ : (0,3)² = ${\left[{(0,3)}^2\right]}^3$.

d) ${\left(-\frac{3}{2}\right)}^5:{\left(-\frac{3}{2}\right)}^2$ và ${\left(\frac{3}{2}\right)}^3$.

Ta có ${\left(-\frac{3}{2}\right)}^5:{\left(-\frac{3}{2}\right)}^3={\left(-\frac{3}{2}\right)}^{5-3}={\left(-\frac{3}{2}\right)}^2={\left(\frac{3}{2}\right)}^2$;

Vậy ${\left(-\frac{3}{2}\right)}^5:{\left(-\frac{3}{2}\right)}^3={\left(\frac{3}{2}\right)}^2$.

Bài 3 trang 20 Toán lớp 7 Tập 1: Tìm x, biết:

a) (1,2)³ . x = (1,2)⁵;

b) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^7:x={\left(\frac{2}{3}\right)}^6$.

Lời giải:

a) (1,2)³ . x = (1,2)⁵;

x = (1,2)⁵ : (1,2)³

x = (1,2)^{5 – 3}

x = (1,2)²

x = 1,44.

Vậy x = 1,44.

b)  ${\left(\frac{2}{3}\right)}^7:x={\left(\frac{2}{3}\right)}^6$

$x={\left(\frac{2}{3}\right)}^7:{\left(\frac{2}{3}\right)}^6$

$x={\left(\frac{2}{3}\right)}^{7-6}$

$x=\frac{2}{3}$.

Vậy $x=\frac{2}{3}$.

Bài 4 trang 20 Toán lớp 7 Tập 1: Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng lũy thừa của a:

a) ${\left(\frac{8}{9}\right)}^3.\frac{4}{3}.\frac{2}{3}$ với $a=\frac{8}{9}$;

b) ${\left(\frac{1}{4}\right)}^7.\mathrm{0,25}$ và a = 0,25;

c) ${(-\mathrm{0,125})}^6:\frac{-1}{8}$ với $a=-\frac{1}{8}$;

d) ${\left[{\left(\frac{-3}{2}\right)}^3\right]}^2$ với $a=\frac{-3}{2}$.

Lời giải:

a) Ta có:

${\left(\frac{8}{9}\right)}^3.\frac{4}{3}.\frac{2}{3}={\left(\frac{8}{9}\right)}^3.\left(\frac{4}{3}.\frac{2}{3}\right)$

$={\left(\frac{8}{9}\right)}^3.\frac{8}{9}={\left(\frac{8}{9}\right)}^{3+1}={\left(\frac{8}{9}\right)}^4.$

Với $a=\frac{8}{9}$ thì kết quả của phép tính ${\left(\frac{8}{9}\right)}^4$ là a⁴.

Vậy với $a=\frac{8}{9}$ thì kết quả của phép tính  ${\left(\frac{8}{9}\right)}^3.\frac{4}{3}.\frac{2}{3}$ là a⁴.

b) ${\left(\frac{1}{4}\right)}^7.\mathrm{0,25}$ và a = 0,25;

Ta có ${\left(\frac{1}{4}\right)}^7.\mathrm{0,25}={\left(\mathrm{0,25}\right)}^7.\mathrm{0,25}={\left(\mathrm{0,25}\right)}^{7+1}={\left(\mathrm{0,25}\right)}^8$.

Với a = 0,25 thì kết quả của phép tính (0,25)⁸ là a⁸

Vậy với a = 0,25 thì kết quả của phép tính ${\left(\frac{1}{4}\right)}^7.\mathrm{0,25}$ là a⁸.

c) Ta có ${(-\mathrm{0,125})}^6:\frac{-1}{8}={\left(\frac{-1}{8}\right)}^6:\frac{-1}{8}={\left(\frac{-1}{8}\right)}^{6-1}={\left(\frac{-1}{8}\right)}^5$.

Với $a=-\frac{1}{8}$ thì kết quả của phép tính ${\left(\frac{-1}{8}\right)}^5$ là a⁵.

Vậy với $a=-\frac{1}{8}$ thì kết quả của phép tính ${(-\mathrm{0,125})}^6:\frac{-1}{8}$ là a⁵.

d) Ta có ${\left[{\left(\frac{-3}{2}\right)}^3\right]}^2={\left(\frac{-3}{2}\right)}^{3.2}={\left(\frac{-3}{2}\right)}^6$.

Với $a=\frac{-3}{2}$ thì kết quả của phép tính ${\left(\frac{-3}{2}\right)}^6$ là a⁶.

Vậy với $a=\frac{-3}{2}$ thì kết quả của phép tính ${\left[{\left(\frac{-3}{2}\right)}^3\right]}^2$ là a⁶.

Bài 5 trang 20 Toán lớp 7 Tập 1: Cho x là số hữu tỉ. Viết x¹² dưới dạng:

a) Lũy thừa của x²;

a) Lũy thừa của x³.

Lời giải:

a) Ta có $x^{12}=x^{2+2+2+2+2+2}=x^2.x^2.x^2.x^2.x^2.x^2={\left(x^2\right)}^6$.

Vậy x¹² viết dưới dạng lũy thừa của x² là ${\left(x^2\right)}^6$.

b) Ta có $x^{12}=x^{3+3+3+3}=x^3.x^3.x^3.x^3={\left(x^3\right)}^4$.

Vậy x¹² viết dưới dạng lũy thừa của x³ là ${\left(x^3\right)}^4$.

Bài 6 trang 20 Toán lớp 7 Tập 1: Trên bản đồ có tỉ lệ 1 : 100 000, một cánh đồng lúa có dạng hình vuông với độ dài cạnh là 0,7 cm. Tính diện tích thực tế theo đơn vị mét vuông của cánh đồng lúa đó (viết kết quả dưới dạng a . 10ⁿ với 1 ≤ a < 10)

Lời giải:

Độ dài một cạnh của cánh đồng hình vuông trên thực tế là:

0,7 . 100 000 = 70 000 (cm) = 700 (m).

Diện tích của cánh đồng hình vuông trên thực tế là:

700² = 490 000 (m²)

Ta viết kết quả dưới dạng a.10ⁿ là 490 000 = 4,9. 10 000 = 4,9.10⁵

Vậy diện tích thực tế theo đơn vị mét vuông của cánh đồng lúa đó là 4,9 . 10⁵ m².

Bài 7 trang 20 Toán lớp 7 Tập 1: Biết vận tốc ánh sáng xấp xỉ bằng 299 792 458 m/s và ánh sáng Mặt Trời cần khoảng 8 phút 19 giây mới đến được Trái Đất. (Nguồn: https://vi.wikipedia.org).

Khoảng cách giữa Mặt Trời và Trái Đất xấp xỉ bằng bao nhiêu ki-lô-mét?

Lời giải:

Đổi 8 phút 19 giây = 499 giây.

Khoảng cách giữa Mặt Trời và Trái Đất xấp xỉ bằng:

299 792 458 . 499 ≈ 1,495 964 365 . 10¹¹ (m)

≈ 1,496 . 10⁸ (km)

Vậy khoảng cách giữa Mặt Trời và Trái Đất xấp xỉ bằng 1,496 . 10⁸ km.

Bài 8 trang 21 Toán lớp 7 Tập 1: Hai mảnh vườn có dạng hình vuông. Mảnh vườn thứ nhất có độ dài cạnh là 19,5 m. Mảnh vườn thứ hai có độ dài cạnh là 6,5 m. Diện tích mảnh vườn thứ nhất gấp bao nhiêu lần mảnh vườn thứ hai?

Lời giải:

Cách 1:

Diện tích mảnh vườn thứ nhất là:

19,5² = 380,25 (m²)

Diện tích mảnh vườn thứ hai là:

6,5² = 42,25 (m²)

Diện tích mảnh vườn thứ nhất gấp mảnh vườn thứ hai số lần là:

380,25 : 42,25 = 9 (lần).

Vậy diện tích mảnh vườn thứ nhất gấp 9 lần mảnh vườn thứ hai.

Cách 2:

Độ dài mảnh vườn thứ nhất gấp số lần độ dài mảnh vườn thứ hai là:

19,5 : 6,5 = 3 (lần)

Vì độ dài cạnh mảnh vườn hình vuông thứ nhất gấp 3 lần độ dài mảnh vườn hình vuông thứ hai nên diện tích mảnh vườn hình vuông thứ nhất gấp 9 lần diện tích mảnh vườn hình vuông thứ hai.

Bài 9 trang 21 Toán lớp 7 Tập 1: Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ Urani 238 là 4,468 . 10⁹ năm (nghĩa là sau 4,468 . 10⁹ năm khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn lại một nửa).

(Nguồn: https://vi.wikipedia.org)

a) Ba chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ đó là bao nhiêu năm?

b) Sau ba chu kì bán rã, khối lượng của nguyên tố phóng xạ còn lại bằng bao nhiêu phần khối lượng ban đầu?

Lời giải:

a) Thời gian ba chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ là:

3 . 4,468 . 10⁹ = 13,404 . 10⁹ = 1,3404 . 10¹⁰ (năm)

Vậy ba chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ là 1,3404 . 10¹⁰ năm.

b) Gọi m₀ là khối lượng ban đầu của nguyên tố phóng xạ uranium 238.

m₁, m₂, m₃ lần lượt là khối lượng nguyên tố phóng xạ uranium 238 còn lại sau một, hai, ba chu kì.

Sau một chu kì bán rã, khối lượng nguyên tố phóng xạ uranium 238 còn lại là:

$m_1=\frac{1}{2}{m}_0$.

Sau hai chu kì bán rã, khối lượng nguyên tố phóng xạ uranium 238 còn lại là:

$m_2=\frac{1}{2}{m}_1=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}{m}_0=\frac{1}{4}{m}_0$.

Sau ba chu kì bán rã, khối lượng nguyên tố phóng xạ uranium 238 còn lại là:

$m_3=\frac{1}{2}{m}_2=\frac{1}{2}.\frac{1}{4}{m}_0=\frac{1}{8}{m}_0$.

Vậy sau ba chu kì bán rã, khối lượng của nguyên tố phóng xạ còn lại bằng $\frac{1}{8}$ khối lượng ban đầu.

Bài 10 trang 21 Toán lớp 7 Tập 1: Người ta thường dùng các lũy thừa của 10 với số mũ nguyên dương để biểu thị những số rất lớn. Ta gọi một số hữu tỉ dương được viết theo kí hiệu khoa học (hay theo dạng chuẩn) nếu nó có dạng a . 10ⁿ với 1 ≤ a < 10 và n là một số nguyên dương. Ví dụ, khối lượng của Trái Đất viết theo kí hiệu khoa học là 5,9724 . 10²⁴ kg.

Viết các số sau theo kí hiệu khoa học (với đơn vị đã cho):

a) Khoảng cách giữa Mặt Trăng và Trái Đất khoảng 384 400 km;

b) Khối lượng của Mặt Trời khoảng 1 989 . 10²⁷ kg;

c) Khối lượng của Sao Mộc khoảng 1 898 . 10²⁴ kg.

(Nguồn: https://www.nasa.gov)

Lời giải:

a) Khoảng cách giữa Mặt Trăng và Trái Đất viết theo kí hiệu khoa học là:

384 400 km = 3,844. 10⁵ km.

Vậy khoảng cách giữa Mặt Trăng và Trái Đất khoảng 3,844 . 10⁵ km.

b) Khối lượng của Mặt Trời viết theo kí hiệu khoa học là:

1 989 . 10²⁷ kg = 1,989 . 10³⁰ kg.

Vậy khối lượng của Mặt Trời khoảng 1,989 . 10³⁰ kg.

c) Khối lượng của Sao Mộc viết theo kí hiệu khoa học là:

1 898 . 10²⁴ kg = 1,898 . 10²⁷ kg.

Vậy khối lượng của Sao Mộc khoảng 1,989 . 10²⁷ kg.

Bài 11 trang 21 Toán lớp 7 Tập 1: Sử dụng máy tính cầm tay

Nút lũy thừa   (ở một số máy tính nút lũy thừa còn có dạng  ).

Nút phân số 

Nút chuyển xuống để ghi số hoặc dấu 

Nút chuyển sang phải để ghi số hoặc dấu 

Dùng máy tính cầm tay để tính:

a) (3,147)³;

b) (− 23,457)⁵;

c) ${\left(\frac{4}{-5}\right)}^4$;

d) ${\left(\mathrm{0,12}\right)}^2.{\left(\frac{-13}{28}\right)}^5$.

Lời giải:

Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được:

a) (3,147)³ = 31,16665752;

b) (− 23,457)⁵ = − 7101700,278;

c) ${\left(\frac{4}{-5}\right)}^4=\frac{256}{625}$;

d) ${(0,12)}^2.{\left(\frac{-13}{28}\right)}^5=-3,106626889.{10}^{-4}$.