Các hàm số ban đầu là sự lý tưởng hóa cách một đại lượng thay đổi phụ thuộc vào một đại lượng khác. Ví dụ, vị trí của một hành tinh là một hàm số của thời gian. Về mặt lịch sử, khái niệm này được xây dựng dựa trên phép tính vi tích phân vào cuối thế kỷ 17, và cho đến thế kỷ 19, các hàm được coi là khả vi (nghĩa là chúng có mức độ mịn cao). Khái niệm hàm số được chính thức hóa vào cuối thế kỷ 19 dưới dạng lý thuyết tập hợp, và điều này đã mở rộng đáng kể các lĩnh vực ứng dụng của khái niệm này.

Một hàm số là một quá trình hoặc một mối quan hệ mà liên kết mỗi phần tử x của một tập hợp X, được gọi là miền xác định của hàm số, đến một phần tử y duy nhất của một tập hợp Y (có thể là cùng một tập hợp như X), và gọi là tập hợp đích của hàm số này. Hàm số thường được ký hiệu bằng các chữ cái như f, g và h.[1]

Nếu hàm được gọi là f, quan hệ này được ký hiệu là y = f (x) (đọc là " f của x "), trong đó phần tử x là đối số hoặc đầu vào của hàm và y là giá trị của hàm, đầu ra hoặc ảnh của x theo f .[2] Ký hiệu được sử dụng để biểu diễn đầu vào là biến của hàm (ví dụ: f là hàm của biến x).[3]

Một hàm số được biểu diễn duy nhất bởi tập hợp tất cả các cặp số (x, f (x)), được gọi là đồ thị của hàm số. [note 2][4] Khi miền và miền là tập hợp các số thực, mỗi cặp như vậy có thể được coi là tọa độ Descartes của một điểm trong mặt phẳng. Tập hợp các điểm này được gọi là đồ thị của hàm số; nó là một phương tiện phổ biến để minh họa một hàm số.