a)

H là trung điểm của AM nên:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AH}=\frac{1}{2}.\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}.( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}) =\frac{1}{2}.( \overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC})=-\frac{1}{2}.\overrightarrow{BA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{4}.\overrightarrow{BC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA} \\ \Rightarrow \overrightarrow{BH}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{BA}+\frac{1}{4}.\overrightarrow{BC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=\frac{1}{2}.\overrightarrow{BA}+\frac{1}{4}.\overrightarrow{BC} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} \overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}.\left(\overrightarrow{-BA}+\overrightarrow{BC}\right)=\overrightarrow{BA}-\frac{1}{3}.\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC} \\ =\frac{2}{3}.\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}.\overrightarrow{BC} \\ \Rightarrow 3.\overrightarrow{BK}=3.\left(\frac{2}{3}.\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}.\overrightarrow{BC}\right)=2.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC} \left(1\right) \\ \overrightarrow{BH}=\frac{1}{2}.\overrightarrow{BA}+\frac{1}{4}.\overrightarrow{BC} \\ \Rightarrow 4.\overrightarrow{BH}=4.\left(\frac{1}{2}.\overrightarrow{BA}+\frac{1}{4}.\overrightarrow{BC}\right)= 2.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC} \left(2\right) \end{gathered}$$

Từ (1) và (2) suy ra:

$$\begin{gathered} 3\overrightarrow{BK}=4\overrightarrow{BH} \\ \Rightarrow \overrightarrow{BK}=\frac{4}{3}.\overrightarrow{BH} \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}BK=\frac{4}{3}BH\\ BK cùng phương BH\end{array}\right. \end{gathered}$$

⇒ B,H,K thẳng hàng.    (đccm)

Để giải quyết bài toán này, ta cần sử dụng các định lý và tính chất về vecto trong tam giác. Hãy giải từng phần một.

### Câu a: Phân tích vector \(\vec{BH}\) theo hai vector \(\vec{BA}\) và \(\vec{BC}\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(H\) là trung điểm của \(AM\). Chúng ta có:
\[ \vec{H} = \frac{\vec{A} + \vec{M}}{2} \]

Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta có:
\[ \vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} \]

Do đó, thay \( \vec{M} \) vào biểu thức trên:
\[ \vec{H} = \frac{\vec{A} + \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}}{2} = \frac{2\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{4} \]

Bây giờ, ta cần phân tích vector \(\vec{BH}\):
\[ \vec{BH} = \vec{H} - \vec{B} \]
\[ \vec{BH} = \left(\frac{2\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{4}\right) - \vec{B} \]
\[ \vec{BH} = \frac{2\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} - 4\vec{B}}{4} \]
\[ \vec{BH} = \frac{2\vec{A} + \vec{C} - 3\vec{B}}{4} \]

Vậy:
\[ \vec{BH} = \frac{1}{2}\vec{BA} + \frac{1}{4}\vec{BC} \]

### Câu b: Chứng minh \(B, H, K\) thẳng hàng

Ta có \(AC = 3AK\), nên \(K\) chia đoạn \(AC\) theo tỉ lệ \(\frac{AK}{KC} = \frac{1}{2}\). Vì vậy, \(K\) là trung điểm của đoạn \(AC\).

Bây giờ, ta xét vị trí của \(H\), là trung điểm của \(AM\) và \(K\) là trung điểm của \(AC\). Cả \(B, H, K\) đều nằm trên các đoạn thẳng liên quan đến \(A\) và các trung điểm của các đoạn thẳng khác, do đó chúng sẽ nằm trên cùng một đường thẳng.

Do các điểm trung điểm của các đoạn thẳng của tam giác chia các đoạn thẳng chính của tam giác theo tỉ lệ đều nhau, nên chúng sẽ luôn thẳng hàng trên các đường thẳng nối các đỉnh tam giác với trung điểm của cạnh đối diện.

Điều này được chứng minh bởi Định lý đường trung tuyến và Định lý đoạn thẳng chia tỷ lệ trong hình học.