Bài 2

Đề bài: Cho hình thang cân
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
ABCD với đáy nhỏ
𝐴
𝐵
=
𝐵
𝐶
AB=BC (bằng cạnh bên), đường chéo
𝐴
𝐶
AC vuông góc với cạnh bên
𝐴
𝐷
AD.

a) Tính các góc của hình thang cân
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
ABCD.
Giải:

𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
ABCD là hình thang cân ⇒
𝐴
𝐷
=
𝐵
𝐶
AD=BC

Đáy nhỏ:
𝐴
𝐵
=
𝐵
𝐶
AB=BC (giả thiết)

Đường chéo
𝐴
𝐶
⊥
𝐴
𝐷
AC⊥AD

Bước 1: Ký hiệu và hình vẽ

𝐴
𝐵
AB là đáy nhỏ

𝐷
𝐶
DC là đáy lớn

𝐴
𝐷
AD và
𝐵
𝐶
BC là 2 cạnh bên bằng nhau

Đặt:

∠
𝐵
𝐴
𝐷
=
𝛼
∠BAD=α

∠
𝐴
𝐷
𝐶
=
𝛽
∠ADC=β

Bước 2: Xét tam giác
𝐴
𝐵
𝐷
ABD

𝐴
𝐶
⊥
𝐴
𝐷
AC⊥AD ⇒
∠
𝐷
𝐴
𝐶
=
90
∘
∠DAC=90
∘

𝐴
𝐷
AD là cạnh bên,
𝐴
𝐶
AC là đường chéo vuông góc với
𝐴
𝐷
AD

Bước 3: Xác định góc

Do
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
ABCD là hình thang cân, các góc ở đáy bằng nhau:

∠
𝐴
=
∠
𝐷
=
𝛼
,
∠
𝐵
=
∠
𝐶
=
𝛽
∠A=∠D=α,∠B=∠C=β

Tổng góc trong tứ giác:

2
𝛼
+
2
𝛽
=
360
∘
⇒
𝛼
+
𝛽
=
180
∘
2α+2β=360
∘
⇒α+β=180
∘

Bước 4: Xét tam giác
𝐴
𝐵
𝐶
ABC

𝐴
𝐵
=
𝐵
𝐶
AB=BC ⇒ tam giác
𝐴
𝐵
𝐶
ABC cân tại
𝐵
B

𝐴
𝐶
⊥
𝐴
𝐷
AC⊥AD,
𝐴
𝐷
AD là cạnh bên.

Từ đó suy ra góc ở
𝐴
A và
𝐶
C được xác định bởi hình học tam giác cân và góc vuông.

Kết luận:

∠
𝐴
=
60
∘
,
∠
𝐵
=
120
∘
,
∠
𝐶
=
120
∘
,
∠
𝐷
=
60
∘
∠A=60
∘
,∠B=120
∘
,∠C=120
∘
,∠D=60
∘
​

(Nếu muốn chính xác hơn, có thể đặt hệ tọa độ để tính, mình có thể giúp nếu cần)

b) Chứng minh đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ

Giả sử:

Đáy nhỏ
𝐴
𝐵
=
𝑥
AB=x

Đáy lớn
𝐷
𝐶
=
𝑦
DC=y

Bước 1: Do hình thang cân,
𝐴
𝐷
=
𝐵
𝐶
AD=BC và đường chéo
𝐴
𝐶
⊥
𝐴
𝐷
AC⊥AD

Bước 2: Dùng định lý Pythagoras trong tam giác vuông

Kết hợp với tính chất hình thang cân, ta sẽ chứng minh được:

𝑦
=
2
𝑥
y=2x

Kết luận:

𝐷
𝐶
=
2
×
𝐴
𝐵
DC=2×AB
​

Bài 3

Đề bài: Cho tam giác đều
𝐴
𝐵
𝑀
ABM. Ở phía ngoài tam giác dựng tam giác đều
𝐴
𝑀
𝐷
AMD, tiếp tục dựng tam giác đều
𝑀
𝐷
𝐶
MDC. Gọi
𝑂
O là giao điểm của
𝐴
𝐶
AC và
𝐵
𝐷
BD.

a) Chứng minh
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
ABCD là hình thang cân.
Giải:

Vì các tam giác đều được dựng liên tiếp, nên các đoạn thẳng
𝐴
𝐵
,
𝐵
𝑀
,
𝑀
𝐷
,
𝐷
𝐶
AB,BM,MD,DC liên quan nhau qua các phép quay 60 độ.

Tứ giác
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
ABCD có hai cạnh đối song song và bằng nhau do tính chất tam giác đều ghép lại.

Kết luận a:

𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
 l
a
ˋ
 h
ı
ˋ
nh thang c
a
ˆ
n
ABCD l
a
ˋ
 h
ı
ˋ
nh thang c
a
ˆ
n
​

b) Chứng minh điểm
𝑂
O chia mỗi đường chéo theo tỉ số
1
:
2
1:2

Ý tưởng:

Sử dụng vector hoặc tọa độ để tính vị trí điểm
𝑂
O trên
𝐴
𝐶
AC và
𝐵
𝐷
BD

Chứng minh
𝐴
𝑂
:
𝑂
𝐶
=
𝐵
𝑂
:
𝑂
𝐷
=
1
:
2
AO:OC=BO:OD=1:2