Tìm x để mọi x thuộc [0,+∞) đều là nghiệm của bất phương trình (m^2-1)x^2

Question

VietJack · Accepted Answer

Xem đáp án từ VietJack...

VietJack · Answer

1. Hệ số của $x^2$ phải không âm:

$m^2 - 1 \ge 0$

$\Leftrightarrow (m-1)(m+1) \ge 0$

$\Leftrightarrow m \le -1$ hoặc $m \ge 1$

2. Tam thức bậc hai phải không âm với mọi $x \in [0, \infty)$ :

Để tam thức bậc hai luôn không âm, ta cần delta của nó phải nhỏ hơn hoặc bằng 0 và hệ số của $x^2$ phải dương:

Delta:

$\Delta = (8m)^2 - 4(m^2 - 1)(9 - m^2) = -4m^4 + 44m^2 + 36$

Để $\Delta \le 0$ , ta giải bất phương trình: $-4m^4 + 44m^2 + 36 \le 0$ . Chia cả hai vế cho -4, ta được: $m^4 - 11m^2 - 9 \ge 0$ .

Đặt $t = m^2$ , bất phương trình trở thành: $t^2 - 11t - 9 \ge 0$ . Giải bất phương trình bậc hai này, ta được $t \le \frac{11 - \sqrt{157}}{2}$ hoặc $t \ge \frac{11 + \sqrt{157}}{2}$ .

Do $t = m^2 \ge 0$ , nên ta chỉ cần xét $t \ge \frac{11 + \sqrt{157}}{2}$ . Thay lại $t = m^2$ , ta được: $m^2 \ge \frac{11 + \sqrt{157}}{2}$

$\Leftrightarrow m \le -\sqrt{\frac{11 + \sqrt{157}}{2}}$ hoặc $m \ge \sqrt{\frac{11 + \sqrt{157}}{2}}$

Hệ số của $x^2$ phải dương:

$m^2 - 1 > 0$

$\Leftrightarrow m < -1$ hoặc $m > 1$

Kết hợp cả hai điều kiện:

Để thỏa mãn cả hai điều kiện, ta cần:

$m \le -\sqrt{\frac{11 + \sqrt{157}}{2}}$ hoặc $m \ge \sqrt{\frac{11 + \sqrt{157}}{2}}$

Vậy, tập hợp các giá trị của m để mọi $x \in [0, \infty)$ đều là nghiệm của bất phương trình là:

$m \in (-\infty; -\sqrt{\frac{11 + \sqrt{157}}{2}}] \cup [\sqrt{\frac{11 + \sqrt{157}}{2}}; +\infty)$ .

VietJack · Answer

1. Hệ số của x2x2 phải không âm:

m2−1≥0m2−1≥0

⇔(m−1)(m+1)≥0⇔(m−1)(m+1)≥0

⇔m≤−1⇔m≤−1 hoặc m≥1m≥1

2. Tam thức bậc hai phải không âm với mọi x∈[0,∞)x∈[0,∞):

Để tam thức bậc hai luôn không âm, ta cần delta của nó phải nhỏ hơn hoặc bằng 0 và hệ số của x2x2 phải dương:

Delta:

Δ=(8m)2−4(m2−1)(9−m2)=−4m4+44m2+36Δ=(8m)2−4(m2−1)(9−m2)=−4m4+44m2+36

Để Δ≤0Δ≤0, ta giải bất phương trình: −4m4+44m2+36≤0−4m4+44m2+36≤0. Chia cả hai vế cho -4, ta được: m4−11m2−9≥0m4−11m2−9≥0.

Đặt t=m2t=m2, bất phương trình trở thành: t2−11t−9≥0t2−11t−9≥0. Giải bất phương trình bậc hai này, ta được t≤11−√1572t≤11−1572 hoặc t≥11+√1572t≥11+1572.

Do t=m2≥0t=m2≥0, nên ta chỉ cần xét t≥11+√1572t≥11+1572. Thay lại t=m2t=m2, ta được: m2≥11+√1572m2≥11+1572

⇔m≤−√11+√1572⇔m≤−11+1572 hoặc m≥√11+√1572m≥11+1572

Hệ số của x2x2 phải dương:

m2−1>0m2−1>0

⇔m<−1⇔m<−1 hoặc m>1m>1

Kết hợp cả hai điều kiện:

Để thỏa mãn cả hai điều kiện, ta cần:

m≤−√11+√1572m≤−11+1572 hoặc m≥√11+√1572m≥11+1572

Vậy, tập hợp các giá trị của m để mọi x∈[0,∞)x∈[0,∞) đều là nghiệm của bất phương trình là:

m∈(−∞;−√11+√1572]∪[√11+√1572;+∞)m∈(−∞;−11+1572]∪[11+1572;+∞).

VietJack · Answer

1. Hệ số của x2x2 phải không âm:

m2−1≥0m2−1≥0

⇔(m−1)(m+1)≥0⇔(m−1)(m+1)≥0

⇔m≤−1⇔m≤−1 hoặc m≥1m≥1

2. Tam thức bậc hai phải không âm với mọi x∈[0,∞)x∈[0,∞):

Để tam thức bậc hai luôn không âm, ta cần delta của nó phải nhỏ hơn hoặc bằng 0 và hệ số của x2x2 phải dương:

Delta:

Δ=(8m)2−4(m2−1)(9−m2)=−4m4+44m2+36Δ=(8m)2−4(m2−1)(9−m2)=−4m4+44m2+36

Để Δ≤0Δ≤0, ta giải bất phương trình: −4m4+44m2+36≤0−4m4+44m2+36≤0. Chia cả hai vế cho -4, ta được: m4−11m2−9≥0m4−11m2−9≥0.

Đặt t=m2t=m2, bất phương trình trở thành: t2−11t−9≥0t2−11t−9≥0. Giải bất phương trình bậc hai này, ta được t≤11−√1572t≤11−1572 hoặc t≥11+√1572t≥11+1572.

Do t=m2≥0t=m2≥0, nên ta chỉ cần xét t≥11+√1572t≥11+1572. Thay lại t=m2t=m2, ta được: m2≥11+√1572m2≥11+1572

⇔m≤−√11+√1572⇔m≤−11+1572 hoặc m≥√11+√1572m≥11+1572

Hệ số của x2x2 phải dương:

m2−1>0m2−1>0

⇔m<−1⇔m<−1 hoặc m>1m>1

Kết hợp cả hai điều kiện:

Để thỏa mãn cả hai điều kiện, ta cần:

m≤−√11+√1572m≤−11+1572 hoặc m≥√11+√1572m≥11+1572

Vậy, tập hợp các giá trị của m để mọi x∈[0,∞)x∈[0,∞) đều là nghiệm của bất phương trình là:

m∈(−∞;−√11+√1572]∪[√11+√1572;+∞)m∈(−∞;−11+1572]∪[11+1572;+∞).

4 câu trả lời 3476

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 10