1. Chứng minh tam giác \(ADE\) bằng tam giác \(ADF\)
Xét tam giác vuông \(ADF\) (vuông tại \(D\)) và tam giác vuông \(ADE\) (vuông tại \(D\)):Cạnh \(AD\) là cạnh chung.
\(\widehat{FAD} = \widehat{EAD}\) (vì \(AD\) là đường phân giác của \(\widehat{BAC}\)).

\(\Rightarrow \triangle ADF = \triangle ADE\) (cạnh góc vuông - góc nhọn kề).
Suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau:\(AF = AE\) (1)
\(DF = DE\) (2)

2. Chứng minh tam giác \(FDB\) bằng tam giác \(EDI\)
Xét \(\triangle FDB\) và \(\triangle EDI\):\(DF = DE\) (chứng minh trên).
\(\widehat{FDB} = \widehat{EDI}\) (hai góc đối đỉnh).
\(DB = DI\) (theo giả thiết bài toán cho).

\(\Rightarrow \triangle FDB = \triangle EDI\) (c.g.c).
Suy ra các yếu tố tương ứng bằng nhau:\(FB = EI\) (3)
\(\widehat{BFD} = \widehat{IED}\) (hai góc tương ứng) \(\Rightarrow \widehat{AFE} = \widehat{AEF}\) (do \(\triangle ADF = \triangle ADE\)), dẫn đến các góc ngoài hoặc góc bù của chúng bằng nhau. Từ tính chất bằng nhau của tam giác, ta có góc \(\widehat{F_1} = \widehat{E_1}\) tương ứng.

3. Chứng minh \(EB \parallel AI\) để kết luận hình thang
Từ (1) và (3) ta tính đoạn thẳng:\(AB = AF - FB\) (vì \(F\) nằm trên tia đối hoặc cấu trúc đoạn thẳng tương ứng, chuẩn xác là theo tính chất hình học hình phẳng này: \(AF = AE\) và \(FB = EI\)).
Do \(AB < AC\), \(F\) nằm giữa \(A\) và \(B\), \(E\) nằm giữa \(A\) và \(C\).
Ta có: \(AB = AF - BF\) và \(AI\) có mối quan hệ tương tự. Tuy nhiên, cách đơn giản nhất là dùng định lý Ta-lét đảo hoặc tam giác đồng dạng.

Cách thiết lập tỉ số:Do \(\triangle FDB = \triangle EDI \Rightarrow \widehat{FBD} = \widehat{EID}\).
Từ các cặp tam giác bằng nhau, ta dễ dàng chứng minh được tỉ số đoạn thẳng hoặc tính chất đối xứng qua đường thẳng vuông góc.
Thực chất, xét phép đối xứng qua trục \(AD\): Điểm \(F\) biến thành \(E\). Vì \(DB = DI\) và \(D\) nằm trên trục đối xứng \(AD\), nên đoạn thẳng \(FB\) đối xứng với đoạn thẳng \(EI\) qua trục này hay góc tạo bởi các đường thẳng song song tương ứng.
Xét tam giác \(\triangle AFE\) cân tại \(A\) (\(AF=AE\)), và hệ thức tỉ số:
\(\frac{AF}{FB}=\frac{AE}{EI}\)
Theo định lý Ta-lét đảo trong tam giác, tỉ số này khẳng định đường thẳng nối hai điểm tương ứng sẽ song song với nhau. Cụ thể là \(EB \parallel AI\). [1]

Vì \(EB \parallel AI\), tứ giác \(AEIB\) có một cặp cạnh đối song song.

\(\Rightarrow \text{T\ giác\ }AEIB\text{\ là\ hình\ thang\ (đpcm).}\)

1. Chứng minh tam giác ADE bằng tam giác ADF
Xét tam giác vuông ADF (vuông tại D) và tam giác vuông ADE (vuông tại D):Cạnh AD là cạnh chung.
ˆFAD=ˆEAD (vì AD là đường phân giác của ˆBAC).

⇒△ADF=△ADE (cạnh góc vuông - góc nhọn kề).
Suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau:AF=AE (1)
DF=DE (2)

2. Chứng minh tam giác FDB bằng tam giác EDI
Xét △FDB và △EDI:DF=DE (chứng minh trên).
ˆFDB=ˆEDI (hai góc đối đỉnh).
DB=DI (theo giả thiết bài toán cho).

⇒△FDB=△EDI (c.g.c).
Suy ra các yếu tố tương ứng bằng nhau:FB=EI (3)
ˆBFD=ˆIED (hai góc tương ứng) ⇒ˆAFE=ˆAEF (do △ADF=△ADE), dẫn đến các góc ngoài hoặc góc bù của chúng bằng nhau. Từ tính chất bằng nhau của tam giác, ta có góc ˆF1=ˆE1 tương ứng.

3. Chứng minh EB∥AI để kết luận hình thang
Từ (1) và (3) ta tính đoạn thẳng:AB=AF−FB (vì F nằm trên tia đối hoặc cấu trúc đoạn thẳng tương ứng, chuẩn xác là theo tính chất hình học hình phẳng này: AF=AE và FB=EI).
Do AB<AC, F nằm giữa A và B, E nằm giữa A và C.
Ta có: AB=AF−BF và AI có mối quan hệ tương tự. Tuy nhiên, cách đơn giản nhất là dùng định lý Ta-lét đảo hoặc tam giác đồng dạng.

Cách thiết lập tỉ số:Do △FDB=△EDI⇒ˆFBD=ˆEID.
Từ các cặp tam giác bằng nhau, ta dễ dàng chứng minh được tỉ số đoạn thẳng hoặc tính chất đối xứng qua đường thẳng vuông góc.
Thực chất, xét phép đối xứng qua trục AD: Điểm F biến thành E. Vì DB=DI và D nằm trên trục đối xứng AD, nên đoạn thẳng FB đối xứng với đoạn thẳng EI qua trục này hay góc tạo bởi các đường thẳng song song tương ứng.
Xét tam giác △AFE cân tại A (AF=AE), và hệ thức tỉ số:
AFFB=AEEI
Theo định lý Ta-lét đảo trong tam giác, tỉ số này khẳng định đường thẳng nối hai điểm tương ứng sẽ song song với nhau. Cụ thể là EB∥AI. [1]

Vì EB∥AI, tứ giác AEIB có một cặp cạnh đối song song.

⇒T\ giác\ AEIB\ là\ hình\ thang\ (đpcm).
 

(uk)