Dưới đây là các kết quả đạo hàm cho chuỗi câu hỏi của bạn:
 
Câu 1: $f'(x) = 3x^2 + 4x + 4$
Câu 2: $y' = \frac{3}{(x+2)^2}$
Câu 3: $y = 2\ln\vert{}x\vert{} - \frac{1}{x} + C$
Câu 4: $y' = -\frac{3}{x^4} + \frac{1}{x^2}$
Câu 5: $y' = -15x^2(1-x^3)^4$
Câu 6: $f'(5) = \frac{1}{3}$
Câu 7: $f'(-2) = -4$

1. Tính đạo hàm đa thức $f(x) = x^3+2x^2+4x+5$
Áp dụng công thức đạo hàm cơ bản $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ và $(c)' = 0$:
$f'(x) = (x^3)' + (2x^2)' + (4x)' + (5)'$
$f'(x) = 3x^2 + 2 \cdot 2x + 4 + 0 = 3x^2 + 4x + 4$
2. Tính đạo hàm phân thức $y = \frac{2x+1}{x+2}$
Áp dụng công thức đạo hàm của thương $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$y' = \frac{(2x+1)'(x+2) - (2x+1)(x+2)'}{(x+2)^2}$
$y' = \frac{2(x+2) - (2x+1)(1)}{(x+2)^2} = \frac{2x+4 - 2x-1}{(x+2)^2} = \frac{3}{(x+2)^2}$
3. Tìm hàm số từ đạo hàm $y' = \frac{2x+1}{x^2}$
Tách phân thức thành các phân số đơn giản để tìm nguyên hàm:
$y' = \frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = \frac{2}{x} + x^{-2}$
Lấy nguyên hàm hai vế:
$y = \int \left(\frac{2}{x} + x^{-2}\right) dx = 2\ln\vert{}x\vert{} - \frac{1}{x} + C$
4. Tính đạo hàm lũy thừa âm $y = \frac{1}{x^3} - \frac{1}{x}$
Viết lại hàm số dưới dạng lũy thừa: $y = x^{-3} - x^{-1}$. Áp dụng công thức đạo hàm lũy thừa:
$y' = -3x^{-4} - (-1)x^{-2} = -\frac{3}{x^4} + \frac{1}{x^2} = \frac{x^2-3}{x^4}$
5. Tính đạo hàm hàm hợp $y = (1-x^3)^5$
Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$ với $u = 1-x^3$:
$y' = 5(1-x^3)^4 \cdot (1-x^3)'$
$y' = 5(1-x^3)^4 \cdot (-3x^2) = -15x^2(1-x^3)^4$
6. Tính giá trị $f'(5)$ của hàm số $f(x) = \sqrt{2x-1}$
Áp dụng đạo hàm hàm hợp căn thức $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$:
$f'(x) = \frac{(2x-1)'}{2\sqrt{2x-1}} = \frac{2}{2\sqrt{2x-1}} = \frac{1}{\sqrt{2x-1}}$
Thay $x = 5$ vào đạo hàm vừa tìm được:
$f'(5) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 5 - 1}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$
7. Tính đạo hàm tại một điểm của $y = x^2+1$ tại $x = -2$
Trước hết, tính đạo hàm tổng quát:
$y' = (x^2+1)' = 2x$
Thay giá trị $x = -2$ vào biểu thức $y'$:
$y'(-2) = 2 \cdot (-2) = -4$

✅ Kết luận toán học
 
Đạo hàm của hàm số $f(x)=x^3+2x^2+4x+5$ là $f'(x) = 3x^2 + 4x + 4$.
Đạo hàm của hàm số $y=\frac{2x+1}{x+2}$ thu được kết quả là $y' = \frac{3}{(x+2)^2}$.
Hàm số có đạo hàm $y'=\frac{2x+1}{x^2}$ là họ hàm số $y = 2\ln\vert{}x\vert{} - \frac{1}{x} + C$.
Đạo hàm của hàm số $y=\frac{1}{x^3} -\frac{1}{x}$ bằng $y' = -\frac{3}{x^4} + \frac{1}{x^2}$.
Đạo hàm của hàm số $y=(1-x^3)^5$ biến đổi thành $y' = -15x^2(1-x^3)^4$.
Với hàm số $f(x)=\sqrt{2x-1}$, giá trị đạo hàm tại $x=5$ là $f'(5) = \frac{1}{3}$.
Đạo hàm của hàm số $y=x^2+1$ tại điểm $x = -2$ có giá trị bằng $-4$.