Ta có hình vẽ như sau:

(D) là trung điểm của (BC).
(M) thuộc tia đối của tia (DA) và (DM=DA) nên (D) cũng là trung điểm của (AM).
a) Chứng minh (AC=BM) và (AC\parallel BM)
Vì:

(D) là trung điểm của (AM).
(D) là trung điểm của (BC).
Xét tứ giác (ABMC), hai đường chéo (AM) và (BC) cắt nhau tại (D) và chia đôi nhau.

⇒ (ABMC) là hình bình hành.

Trong hình bình hành:

Các cạnh đối bằng nhau.
Các cạnh đối song song.
Suy ra:

[
\boxed{AC=BM \quad \text{và}\quad AC\parallel BM.}
]

b) Chứng minh (\triangle ABM \cong \triangle MCA)
Từ câu a), ta có:

(BM=AC).
(BM\parallel AC).
Lại có:

(AM) là cạnh chung.
Do (BM\parallel AC), nên

[
\angle BMA=\angle CAM.
]

Xét hai tam giác (ABM) và (MCA):

(BM=AC).
(AM) chung.
(\angle BMA=\angle CAM).
Suy ra

[
\triangle ABM\cong\triangle MCA
]

(theo trường hợp cạnh–góc–cạnh (CGC)).

c) Chứng minh (BK=CH)
Ta có:

(AH\perp BC).
(MK\perp BC).
Do (AH\parallel MK).

Từ câu a):

[
BM\parallel AC.
]

Xét hai tam giác vuông (BKM) và (CHA):

(\angle BKM=\angle CHA=90^\circ).
(\angle BMK=\angle CAH) (vì (BM\parallel AC,\ MK\parallel AH)).
(BM=AC) (câu a).
Suy ra

[
\triangle BKM\cong\triangle CHA
]

(theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn).

Vậy các cạnh tương ứng bằng nhau:

[
\boxed{BK=CH.}
]

Kết luận
a) (AC=BM,\ AC\parallel BM.)
b) (\triangle ABM\cong\triangle MCA.)
c) (BK=CH.)

Kết quả bài toán: \(AC = BM\), \(AC \parallel BM\), \(\triangle ABM = \triangle MCA\), và \(BK = CH\).

1. Chứng minh \(AC = BM\) và \(AC \parallel BM\)
Xét \(\triangle ADC\) và \(\triangle MDB\), ta có:
Cạnh đối đỉnh: \(DA = DM\) (theo giả thiết).
Góc đối đỉnh: \(\widehat{ADC} = \widehat{MDB}\) (hai góc đối đỉnh).
Trung điểm: \(DB = DC\) (vì \(D\) là trung điểm của \(BC\)).

Suy ra \(\triangle ADC = \triangle MDB\) (cạnh - góc - cạnh).
Từ hai tam giác bằng nhau này, ta thu được:
Cạnh tương ứng: \(AC = BM\) (hai cạnh tương ứng).
Góc tương ứng: \(\widehat{CAD} = \widehat{BMD}\) (hai góc tương ứng).

Vì hai góc so le trong \(\widehat{CAD}\) và \(\widehat{BMD}\) bằng nhau, ta kết luận \(AC \parallel BM\).

2. Chứng minh \(\triangle ABM = \triangle MCA\)
Xét \(\triangle ABD\) và \(\triangle MCD\), ta có:
Cạnh đối đỉnh: \(DA = DM\) (theo giả thiết).
Góc đối đỉnh: \(\widehat{ADB} = \widehat{MDC}\) (hai góc đối đỉnh).
Trung điểm: \(DB = DC\) (vì \(D\) là trung điểm của \(BC\)).

Suy ra \(\triangle ABD = \triangle MCD\) (cạnh - góc - cạnh), dẫn đến \(AB = MC\) (hai cạnh tương ứng).
Xét \(\triangle ABM\) và \(\triangle MCA\), ta có:
Cạnh chung: \(AM\) là cạnh chung.
Cạnh bằng nhau 1: \(AB = MC\) (chứng minh trên).
Cạnh bằng nhau 2: \(BM = AC\) (chứng minh ở câu a).

Do đó, \(\triangle ABM = \triangle MCA\) (cạnh - cạnh - cạnh).

3. Chứng minh \(BK = CH\)
Xét hai tam giác vuông \(\triangle MKD\) (vuông tại \(K\)) và \(\triangle AHD\) (vuông tại \(H\)), ta có:
Cạnh huyền: \(DM = DA\) (theo giả thiết).
Góc nhọn: \(\widehat{MDK} = \widehat{ADH}\) (hai góc đối đỉnh).

Suy ra \(\triangle MKD = \triangle AHD\) (cạnh huyền - góc nhọn).
Từ đó, ta có hai đoạn thẳng tương ứng bằng nhau: \(DK = DH\).
Ta có vị trí các điểm trên đường thẳng \(BC\) như sau:
Điểm \(K\) thuộc tia đối của tia \(DB\), điểm \(H\) thuộc tia \(DB\) (hoặc ngược lại tùy hình vẽ cụ thể, nhưng vị trí \(H, K\) đối xứng qua \(D\)).
Do \(D\) là trung điểm của \(BC\) nên \(DB = DC\).

Ta thực hiện phép trừ/cộng đoạn thẳng:
\(BK = DB - DK\)
\(CH = DC - DH\)

Vì \(DB = DC\) và \(DK = DH\), ta suy ra \(BK = CH\).