Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

iá trị của tích phân suy rộng đã cho bằng $0$.

Phương pháp giải chi tiết
Để tính tích phân $I = \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{(1 + x^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}} \, dx$, chúng ta sử dụng phương pháp đổi biến nghịch đảo $x = \frac{1}{t}$.

Bước 1: Đổi biến và tính vi phân
Đặt $x = \frac{1}{t} \implies dx = -\frac{1}{t^2} \, dt$
Đổi cận tích phân:Khi $x \to 0^+ \implies t \to +\infty$
Khi $x \to +\infty \implies t \to 0^+$

Bước 2: Biến đổi hàm dưới dấu tích phân
Thay biểu thức của $x$ theo $t$ vào tử số và mẫu số:
Tử số: $\ln x = \ln\left(\frac{1}{t}\right) = -\ln t$
Mẫu số:
$(1+x^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}=\left(1+\frac{1}{t^{\sqrt{2}}}\right)^{\sqrt{2}}=\left(\frac{t^{\sqrt{2}}+1}{t^{\sqrt{2}}}\right)^{\sqrt{2}}=\frac{(1+t^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}}{(t^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}}=\frac{(1+t^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}}{t^{2}}$

Bước 3: Thay vào tích phân ban đầu
Thực hiện thay thế toàn bộ vào biểu thức tích phân:
$I=\int _{+\infty }^{0}\frac{-\ln t}{\frac{(1+t^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}}{t^{2}}}\left(-\frac{1}{t^{2}}\right)dt$
Đơn giản hóa biểu thức bên trong và đảo ngược cận tích phân (đổi dấu dấu tích phân):
$I=\int _{+\infty }^{0}\frac{\ln t}{(1+t^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}}\,dt=-\int _{0}^{+\infty }\frac{\ln t}{(1+t^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}}\,dt$

Bước 4: Kết luận
Vì tích phân không phụ thuộc vào tên biến ($t$ hay $x$), ta thu được:
$I=-I\implies 2I=0\implies I=0$
(Lưu ý: Phép biến đổi này hoàn toàn hợp lệ vì tích phân đã cho hội tụ tại cả hai đầu $x \to 0$ và $x \to +\infty$).

...Xem thêm

Answer 2

iá trị của tích phân suy rộng đã cho bằng $0$.

Phương pháp giải chi tiết
Để tính tích phân $I = \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{(1 + x^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}} \, dx$, chúng ta sử dụng phương pháp đổi biến nghịch đảo $x = \frac{1}{t}$.

Bước 1: Đổi biến và tính vi phân
Đặt $x = \frac{1}{t} \implies dx = -\frac{1}{t^2} \, dt$
Đổi cận tích phân:Khi $x \to 0^+ \implies t \to +\infty$
Khi $x \to +\infty \implies t \to 0^+$

Bước 2: Biến đổi hàm dưới dấu tích phân
Thay biểu thức của $x$ theo $t$ vào tử số và mẫu số:
Tử số: $\ln x = \ln\left(\frac{1}{t}\right) = -\ln t$
Mẫu số:
$(1+x^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}=\left(1+\frac{1}{t^{\sqrt{2}}}\right)^{\sqrt{2}}=\left(\frac{t^{\sqrt{2}}+1}{t^{\sqrt{2}}}\right)^{\sqrt{2}}=\frac{(1+t^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}}{(t^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}}=\frac{(1+t^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}}{t^{2}}$

Bước 3: Thay vào tích phân ban đầu
Thực hiện thay thế toàn bộ vào biểu thức tích phân:
$I=\int _{+\infty }^{0}\frac{-\ln t}{\frac{(1+t^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}}{t^{2}}}\left(-\frac{1}{t^{2}}\right)dt$
Đơn giản hóa biểu thức bên trong và đảo ngược cận tích phân (đổi dấu dấu tích phân):
$I=\int _{+\infty }^{0}\frac{\ln t}{(1+t^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}}\,dt=-\int _{0}^{+\infty }\frac{\ln t}{(1+t^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}}\,dt$

Bước 4: Kết luận
Vì tích phân không phụ thuộc vào tên biến ($t$ hay $x$), ta thu được:
$I=-I\implies 2I=0\implies I=0$
(Lưu ý: Phép biến đổi này hoàn toàn hợp lệ vì tích phân đã cho hội tụ tại cả hai đầu $x \to 0$ và $x \to +\infty$).

Answer 3

Xét tích phân $I = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{\ln x}{(1 + x^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}} dx$. Ta thực hiện phép đổi biến $x = \dfrac{1}{u}$, suy ra $dx = -\dfrac{1}{u^2} du$. Khi $x$ chạy từ $0$ đến $+\infty$ thì $u$ cũng chạy từ $+\infty$ đến $0$.

Thay vào tích phân ban đầu, ta có:
$I = \int_{+\infty}^{0} \dfrac{\ln(1/u)}{(1 + (1/u)^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}} \cdot \left(-\dfrac{1}{u^2}\right) du$
$I = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{-\ln u}{(1 + u^{-\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}} \cdot \dfrac{1}{u^2} du$
$I = -\int_{0}^{+\infty} \dfrac{\ln u}{\left(\dfrac{u^{\sqrt{2}}+1}{u^{\sqrt{2}}}\right)^{\sqrt{2}}} \cdot \dfrac{1}{u^2} du$
$I = -\int_{0}^{+\infty} \dfrac{\ln u \cdot (u^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}}{(1 + u^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} \cdot u^2} du$
$I = -\int_{0}^{+\infty} \dfrac{\ln u \cdot u^2}{(1 + u^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} \cdot u^2} du$
$I = -\int_{0}^{+\infty} \dfrac{\ln u}{(1 + u^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}} du = -I$

Từ đẳng thức $I = -I$, ta suy ra $2I = 0$, hay $I = 0$.

Kết quả cuối cùng của tích phân là `0`

2 câu trả lời 109

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 12