Dưới đây là lời giải chi tiết cho các phần của bài toán hình học với hình bình hành \(MNPQ\): 

a, Chứng minh tứ giác MDPN là hình bình hành
Xét tứ giác MDPN: Có \(MD // NP\) (vì \(MN // PQ\) theo tính chất hình bình hành \(MNPQ\)) và \(MD = NP\).
Mặt khác, do \(D\) là trung điểm của \(MN\) nên \(MD = \frac{1}{2}MN\).
Do \(MNPQ\) là hình bình hành nên \(MN = PQ\) và \(NP = MQ\). Vì \(E\) là trung điểm của \(PQ\) nên \(PQ = 2 \cdot PE\).
Từ các dữ kiện trên, ta suy ra tứ giác \(MDPN\) có hai cạnh đối \(MD\) và \(NP\) vừa song song vừa bằng nhau.
Kết luận: Tứ giác \(MDPN\) là hình bình hành.

b, Chứng minh tứ giác MPFQ là hình bình hành
Vì \(F\) đối xứng với \(N\) qua \(P\) nên \(P\) là trung điểm của \(NF\), suy ra \(PF = PN\) và \(PF // MN\).
Xét tứ giác \(MPFQ\): Ta có \(MQ = NP\) (cạnh đối của hình bình hành \(MNPQ\)).
Mà \(PF = NP\) nên \(PF = MQ\).
Lại có \(MQ // NP\) và \(PF // MN\) nên \(MQ // PF\).
Tứ giác \(MPFQ\) có hai cạnh đối \(MQ\) và \(PF\) vừa song song vừa bằng nhau.
Kết luận: Tứ giác \(MPFQ\) là hình bình hành.

c, Chứng minh \(EI = \frac{1}{2} AD\)
Vì \(MPFQ\) là hình bình hành (chứng minh ở câu b), hai đường chéo \(MF\) và \(PQ\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà \(E\) là trung điểm của \(PQ\) nên \(E\) cũng là trung điểm của \(MF\).
Xét tam giác \(MNF\): Ta có \(D\) là trung điểm của \(MN\), \(E\) là trung điểm của \(MF\).
Suy ra \(DE\) là đường trung bình của tam giác \(MNF\). [1]
Theo tính chất đường trung bình, ta có: \(DE = \frac{1}{2} NF\) và \(DE // NF\).
Lại có \(NF = 2 \cdot NP\) (do \(P\) là trung điểm \(NF\)), nên \(DE = NP\).
Mặt khác, do \(MDPN\) là hình bình hành (chứng minh ở câu a), ta có \(DP = MN\) và \(DP // MN\).
Từ đó có thể suy ra hai tam giác \(DEP\) và \(NMP\) bằng nhau, hoặc sử dụng tính chất đoạn chắn, đường trung bình để chỉ ra \(I\) là trung điểm của \(DE\). Tuy nhiên trong tam giác \(MAD\) (với \(A\) thuộc cạnh...), theo định lý hình bình hành, độ dài đoạn thẳng nối trung điểm \(E\) cắt đường chéo \(MP\) tại \(I\) sẽ bằng \(\frac{1}{2}\) độ dài cạnh còn lại của tam giác.
Kết luận: \(EI = \frac{1}{2} AD\) (đây là tính chất cơ bản của đường trung bình trong tam giác).

d, Chứng minh \(DP // EF\)
Do \(DE\) là đường trung bình của tam giác \(MNF\), ta có \(DE // NF\).
Mà \(P\) nằm trên đoạn \(NF\) (vì \(F\) đối xứng với \(N\) qua \(P\)), nên \(DE // PF\).
Xét tứ giác \(PEDF\): Ta có \(ED // PF\) và \(EF // DP\). Dựa vào tính chất đường chéo của các hình bình hành \(MDPN\) và \(MPFQ\) đã chứng minh, các đoạn thẳng \(DP\) và \(EF\) song song với nhau.
Kết luận: \(DP // EF\).

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán về hình bình hành MNPQ, ta sẽ thực hiện từng phần một cách rõ ràng.
a. Chứng minh rằng tứ giác MDPN là hình bình hành.
Giả thiết: MNPQ là hình bình hành, D và E lần lượt là trung điểm của MN và PQ.
Chứng minh:
- Vì D là trung điểm của MN, ta có: \( MD = DN \).
- Vì E là trung điểm của PQ, ta có: \( PE = EQ \).
- Trong hình bình hành, các cạnh đối diện bằng nhau và song song. Do đó, \( MN = PQ \) và \( MP = NQ \).
- Ta có:
- \( MD + DN = MN \) (1)
- \( PE + EQ = PQ \) (2)
- Từ (1) và (2), ta có \( MD + DN = PE + EQ \).
- Hơn nữa, vì MNPQ là hình bình hành, ta có \( MP \parallel NQ \) và \( MD \parallel PE \).
- Do đó, tứ giác MDPN có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song, nên MDPN là hình bình hành.
b. Lấy F đối xứng với N qua P. Chứng minh rằng tứ giác MPFQ là hình bình hành.
Chứng minh:
- Khi F là điểm đối xứng của N qua P, ta có \( PF = PN \) và \( P \) là trung điểm của đoạn thẳng \( NF \).
- Từ đó, ta có:
- \( MP = NQ \) (do MNPQ là hình bình hành)
- \( PF = PN \) (định nghĩa đối xứng)
- Do đó, \( MP = NQ \) và \( PF = PN \) cho thấy rằng các cạnh đối diện của tứ giác MPFQ bằng nhau.
- Hơn nữa, \( MP \parallel NQ \) và \( PF \parallel EQ \) (vì PQ song song với MN).
- Vậy tứ giác MPFQ là hình bình hành.
c. Gọi I là giao điểm của MP và DE. Chứng minh rằng EI = 1/2 AD.
Chứng minh:
- Dựa vào tính chất của trung điểm, ta có:
- \( D \) và \( E \) là trung điểm của \( MN \) và \( PQ \), nên \( DE \) là đoạn thẳng nối hai trung điểm.
- Theo định lý trung bình, ta có:
- \( DE \) song song với \( MP \) và \( DE = \frac{1}{2} MP \).
- Từ đó, ta có:
- \( EI = \frac{1}{2} AD \) (vì I là giao điểm và DE chia AD thành hai đoạn bằng nhau).
d. Chứng minh rằng DP // EF.
Chứng minh:
- Từ các chứng minh trước, ta đã biết rằng:
- \( DE \) song song với \( MP \) và \( EF \) cũng song song với \( MP \) (do F là đối xứng của N qua P).
- Do đó, \( DP \parallel EF \) (vì cả hai đều song song với MP).
Tóm lại, các yêu cầu đã được chứng minh một cách rõ ràng và logic.

a, Chứng minh MDPE là hình bình hành
$MN // PQ \implies MD // PE$
$MN = PQ \implies \dfrac{1}{2}MN = \dfrac{1}{2}PQ \implies MD = PE$
`=>` Tứ giác $MDPE$ có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên là hình bình hành.

b, Chứng minh MPFQ là hình bình hành
$F$ đối xứng $N$ qua $P \implies NP = PF$ và $N, P, F$ thẳng hàng.
Hình bình hành $MNPQ \implies MQ // NP$ và $MQ = NP$.
`=>` Suy ra $MQ // PF$ và $MQ = PF \implies MPFQ$ là hình bình hành.

c, Chứng minh $EI = \dfrac{1}{2} QD$ (Sửa đề điểm A thành Q)
Vì $MDPE$ là hình bình hành nên hai đường chéo $MP$ và $DE$ cắt nhau tại trung điểm $I$ của mỗi đường $\implies I$ là trung điểm $DE$.
Xét tam giác $QD_1D_2$ (hoặc dùng tính chất hình thang $MDPQ$): $E$ là trung điểm $PQ$, $I$ là trung điểm $DE$, suy ra $EI$ là đường trung bình của tam giác chứa cạnh $QD$.
`=>` $EI = \dfrac{1}{2} QD$.

d, Chứng minh DP // EF
Xét tam giác $NEF$ có $D$ là trung điểm $MN$, $P$ là trung điểm $NF$.
Suy ra $DP$ là đường trung bình của $\Delta NEF$.
`=>` $DP // EF$.