um

e mới lớp 8 th

om chờ tí

như này ?

Giả thiết tạm thời và các tính chất cơ bản:Vì \(\triangle ABC\) đều và \(AM\) là đường trung tuyến nên:\(AM\) đồng thời là đường cao và đường phân giác của \(\triangle ABC\).Do đó, \(AM \perp BC\) tại \(M\) (hay \(\angle AMB = \angle AMC = 90^\circ\)) và \(\angle BAM = \angle CAM = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\).\(\angle B = \angle C = 60^\circ\).a. Chứng minh tam giác ABM đồng dạng tam giác AMH (\(\triangle ABM \sim \triangle AMH\))Xét \(\triangle AMC\) vuông tại \(M\) có \(MH \perp AC\) tại \(H\):\(\angle AMH + \angle CMH = \angle AMC = 90^\circ\)\(\angle C + \angle CMH = 90^\circ\) (do \(\triangle MHC\) vuông tại \(H\))Suy ra \(\angle AMH = \angle C\). Mà \(\angle C = \angle B = 60^\circ\) nên \(\angle AMH = \angle B = 60^\circ\).Xét \(\triangle ABM\) và \(\triangle AMH\) có:\(\angle AMB = \angle AHM = 90^\circ\)\(\angle B = \angle AMH = 60^\circ\) (chứng minh trên)Từ đó suy ra \(\triangle ABM \sim \triangle AMH\) (g-g).b. Chứng minh \(AB \cdot AF = AM \cdot AE\)Từ kết quả đồng dạng ở câu a: \(\triangle ABM \sim \triangle AMH\)\(\Rightarrow \frac{AB}{AM} = \frac{BM}{MH}\) (các cạnh tương ứng)Vì \(E\) là trung điểm của \(BM\) nên \(BM = 2BE\).Vì \(F\) is là trung điểm của \(MH\) nên \(MH = 2MF\).Thay vào tỉ số trên ta được:\(\frac{AB}{AM} = \frac{2BE}{2MF} = \frac{BE}{MF} \Rightarrow \frac{AB}{BE} = \frac{AM}{MF}\)Xét \(\triangle ABE\) và \(\triangle AMF\) có:\(\frac{AB}{BE} = \frac{AM}{MF}\) (chứng minh trên)\(\angle ABE = \angle AMF = 60^\circ\) (do \(\angle B = 60^\circ\) và \(\angle AMH = 60^\circ\))Suy ra \(\triangle ABE \sim \triangle AMF\) (c-g-c).Từ hai tam giác đồng dạng này, ta có tỉ số cạnh tương ứng:\(\frac{AB}{AM} = \frac{AE}{AF} \Rightarrow AB \cdot AF = AM \cdot AE\) (đpcm).c. Chứng minh \(BH\) vuông góc \(AF\) (\(BH \perp AF\))Từ \(\triangle ABE \sim \triangle AMF\) (chứng minh ở câu b), ta suy ra:\(\angle BAE = \angle MAF\) (hai góc tương ứng)và \(\frac{AE}{AF} = \frac{AB}{AM} \Rightarrow \frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AM}\)Ta có: \(\angle EAF = \angle EAM + \angle MAF = \angle EAM + \angle BAE = \angle BAM\).Xét \(\triangle AEF\) và \(\triangle ABM\) có:\(\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AM}\) (chứng minh trên)\(\angle EAF = \angle BAM\) (chứng minh trên)Suy ra \(\triangle AEF \sim \triangle ABM\) (c-g-c).Do đó, \(\angle AFE = \angle AMB\) (hai góc tương ứng). Mà \(\angle AMB = 90^\circ\) nên \(\angle AFE = 90^\circ \Rightarrow AF \perp EF\). (1)Mặt khác, trong \(\triangle MBH\), ta có \(E\) là trung điểm của \(BM\) và \(F\) là trung điểm của \(MH\).Suy ra \(EF\) là đường trung bình của \(\triangle MBH \Rightarrow EF \parallel BH\). (2)Từ (1) và (2) suy ra \(BH \perp AF\) (đpcm).d. Chứng minh \(AE \cdot EM = BH \cdot HC\)Xét \(\triangle MHC\) và \(\triangle AMC\) có:\(\angle MHC = \angle AMC = 90^\circ\)\(\angle C\) chung\(\Rightarrow \triangle MHC \sim \triangle AMC\) (g-g)\(\Rightarrow \frac{HC}{MC} = \frac{MC}{AC} \Rightarrow MC^2 = HC \cdot AC\)Vì \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \(MC = \frac{1}{2}BC\). Vì \(\triangle ABC\) đều nên \(AC = BC\).Thay vào hệ thức trên:\(\left(\frac{1}{2}BC\right)^2 = HC \cdot BC \Rightarrow \frac{1}{4}BC^2 = HC \cdot BC \Rightarrow HC = \frac{1}{4}BC\).Ta lại có \(E\) là trung điểm của \(BM\) nên:\(EM = \frac{1}{2}BM = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}BC\right) = \frac{1}{4}BC\).Từ đó suy ra \(EM = HC = \frac{1}{4}BC\). (3)Xét \(\triangle ABE\) và \(\triangle CBH\) có:\(AB = BC\) (cạnh tam giác đều \(ABC\))\(\angle ABE = \angle BCH = 60^\circ\)\(BE = HC\) (vì \(BE = \frac{1}{2}BM = \frac{1}{4}BC\) và \(HC = \frac{1}{4}BC\))Suy ra \(\triangle ABE = \triangle CBH\) (c-g-c) \(\Rightarrow AE = BH\) (hai cạnh tương ứng). (4)Nhân vế với vế của (3) và (4) ta được:\(AE \cdot EM = BH \cdot HC\) (đpcm).

như này nữa