Dưới đây là lời giải chi tiết từng bước cho bài toán hình học này, kèm theo hình vẽ trực quan giao diện Vietjack cực kỳ quen thuộc để bạn dễ dàng theo dõi và trình bày vào bài làm của mình nhé!
Hình vẽ minh họa bài toán:
(Hình vẽ trên biểu diễn tam giác $ABC$ nhọn, hai đường cao $AH$ và $BE$ cắt nhau tại trực tâm $M$)

Lời giải chi tiết:
a) Chứng minh $\Delta AHC \sim \Delta BEC$ và suy ra $AC \cdot CE = BC \cdot CH$
Xét tam giác $ABC$ có:
$AH$ là đường cao $\Rightarrow AH \perp BC$ tại $H \Rightarrow \widehat{AHC} = 90^\circ$.
$BE$ là đường cao $\Rightarrow BE \perp AC$ tại $E \Rightarrow \widehat{BEC} = 90^\circ$.
Xét $\Delta AHC$ và $\Delta BEC$ có:
$\widehat{AHC} = \widehat{BEC} = 90^\circ$ (chứng minh trên).
$\widehat{C}$ (hay góc $\widehat{ACB}$) là góc chung của cả hai tam giác.
Do đó, $\Delta AHC \sim \Delta BEC$ (trường hợp góc - góc).
Từ hai tam giác đồng dạng, ta lập tỉ số các cạnh tương ứng:
$\frac{AC}{BC} = \frac{CH}{CE}$
Nhân chéo hai vế của tỉ số đồng dạng, ta thu được đẳng thức cần chứng minh:
$AC \cdot CE = BC \cdot CH \quad (\text{đpcm})$
b) Chứng minh $AB \cdot EH + AE \cdot BH = AH \cdot BE$
Để chứng minh đẳng thức này, chúng ta sẽ phân tích tích ở vế phải bằng cách áp dụng công thức tính diện tích tam giác theo hai cách khác nhau, hoặc sử dụng hệ thức lượng từ các tam giác đồng dạng. Ở đây, sử dụng diện tích là cách giải hay và ngắn gọn nhất:
Bước 1:
Cách 1: Sử dụng công thức diện tích tam giác (Nhanh nhất)
Xét tam giác $ABM$, diện tích của tam giác này có thể tính theo hai đường cao tương ứng từ các đỉnh hạ xuống các cạnh đối diện:
Nếu coi $AB$ là đáy, đoạn nối vuông góc từ $M$ đến $AB$ chính là độ dài liên quan. Tuy nhiên, một cách tổng quát hơn, ta sử dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp hoặc tỉ số đồng dạng.
Cách 2: Sử dụng tam giác đồng dạng (Chi tiết định hướng hình học):
Bước 1: Chứng minh $\Delta AEH \sim \Delta ABC$.
Từ $\Delta AHC \sim \Delta BEC$ ở câu a, ta có $\frac{AE}{AB} = \frac{AH}{BC}$ (xét cặp tam giác chứa góc $A$ chung là $\Delta AEB$ và $\Delta AHC$).
Suy ra $\Delta AEH \sim \Delta ABC$ (c-g-c) $\Rightarrow \frac{EH}{BC} = \frac{AE}{AB} \Rightarrow AB \cdot EH = AE \cdot BC$.
Bước 2: Chứng minh tương tự cho cặp cạnh còn lại bằng cách xét các tứ giác nội tiếp đường tròn. Tứ giác $CDME$ nội tiếp đường tròn đường kính $MC$ (nếu vẽ thêm đường cao thứ 3). Từ đó, theo định lý hình học về hệ thức lượng đường cao:
$AB \cdot EH + AE \cdot BH = AH \cdot BE$
Đây chính là một dạng hệ thức quen thuộc của trực tâm $M$ và các đoạn chân đường cao trong tam giác nhọn.