Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta có điều kiện:

a+b+c=0

Cần chứng minh:

a⁵+b⁵+c⁵⋮30

Vì 30=2⋅3⋅53, chỉ cần chứng minh biểu thức chia hết cho 2,3,5.

Bước 1. Biến đổi biểu thức
Từ a+b+c=0⇒c=−(a+b).

Xét:

S=a⁵+b⁵+c⁵

Thay c=−(a+b):

S=a⁵+b⁵−(a+b)⁵

Khai triển:

(a+b)⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

Suy ra:

S=a⁵+b⁵−a⁵−b⁵

−5a⁴b−10a³b²−10a²b³−5ab⁴

S=−5ab(a³+2a²b+2ab²+b³)

Nhóm tiếp:

a³+2a²b+2ab²+b³=(a+b)(a²+ab+b²)+ab(a+b)

=(a+b)(a²+2ab+b²)=(a+b)³

Do đó:

S=−5ab(a+b)³

Mà a+b=−c, nên:

S=5abc³

Tương tự theo tính đối xứng:

S=5abc(a²+ab+b²)

Và công thức quen thuộc:

a³+b³+c³=3abc(a+b+c)=0

suy ra:

a⁵+b⁵+c⁵= $\frac{5}{2}$ (a²+b²+c²)⋅3abc

nên chắc chắn có thừa số 5 và 3.

Bước 2. Chứng minh chia hết cho 2
Trong ba số nguyên a,b,c có tổng bằng 0, số lượng số lẻ phải là 0 hoặc 2.

Nếu có một số chẵn ⇒ tích abc chẵn.
Khi đó 5abc(a²+ab+b²) chẵn.
Vậy:

S⋮2
Bước 3. Chứng minh chia hết cho 3
Ta có:

a⁵≡a(mod3)

(vì a3≡a(mod3)).

Do đó:

a⁵+b⁵+c⁵≡a+b+c≡0(mod3)

Suy ra:

S⋮3
Bước 4. Chứng minh chia hết cho 5
Theo định lý Fermat nhỏ:

a⁵≡a(mod5)

nên:

a⁵+b⁵+c⁵≡a+b+c≡0(mod5)

Vậy:

S⋮5
Vì S chia hết cho 2,3,5 và (2,3,5)=1, suy ra:

a⁵+b⁵+c⁵ chia hết cho 30

...Xem thêm

Answer 2

Ta có điều kiện:

a+b+c=0

Cần chứng minh:

a⁵+b⁵+c⁵⋮30

Vì 30=2⋅3⋅53, chỉ cần chứng minh biểu thức chia hết cho 2,3,5.

Bước 1. Biến đổi biểu thức
Từ a+b+c=0⇒c=−(a+b).

Xét:

S=a⁵+b⁵+c⁵

Thay c=−(a+b):

S=a⁵+b⁵−(a+b)⁵

Khai triển:

(a+b)⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

Suy ra:

S=a⁵+b⁵−a⁵−b⁵

−5a⁴b−10a³b²−10a²b³−5ab⁴

S=−5ab(a³+2a²b+2ab²+b³)

Nhóm tiếp:

a³+2a²b+2ab²+b³=(a+b)(a²+ab+b²)+ab(a+b)

=(a+b)(a²+2ab+b²)=(a+b)³

Do đó:

S=−5ab(a+b)³

Mà a+b=−c, nên:

S=5abc³

Tương tự theo tính đối xứng:

S=5abc(a²+ab+b²)

Và công thức quen thuộc:

a³+b³+c³=3abc(a+b+c)=0

suy ra:

a⁵+b⁵+c⁵= $\frac{5}{2}$ (a²+b²+c²)⋅3abc

nên chắc chắn có thừa số 5 và 3.

Bước 2. Chứng minh chia hết cho 2
Trong ba số nguyên a,b,c có tổng bằng 0, số lượng số lẻ phải là 0 hoặc 2.

Nếu có một số chẵn ⇒ tích abc chẵn.
Khi đó 5abc(a²+ab+b²) chẵn.
Vậy:

S⋮2
Bước 3. Chứng minh chia hết cho 3
Ta có:

a⁵≡a(mod3)

(vì a3≡a(mod3)).

Do đó:

a⁵+b⁵+c⁵≡a+b+c≡0(mod3)

Suy ra:

S⋮3
Bước 4. Chứng minh chia hết cho 5
Theo định lý Fermat nhỏ:

a⁵≡a(mod5)

nên:

a⁵+b⁵+c⁵≡a+b+c≡0(mod5)

Vậy:

S⋮5
Vì S chia hết cho 2,3,5 và (2,3,5)=1, suy ra:

a⁵+b⁵+c⁵ chia hết cho 30

Answer 3

Để chứng minh $A = a^5 + b^5 + c^5$ chia hết cho $30$ với $a, b, c \in \mathbb{Z}$ và $a + b + c = 0$, ta cần chứng minh $A$ đồng thời chia hết cho các số $2, 3, 5$ (vì $2, 3, 5$ là các số nguyên tố cùng nhau từng đôi một và $2 \times 3 \times 5 = 30$).
Một phương pháp rất hiệu quả cho dạng bài này là sử dụng Định lý Fermat nhỏ hoặc xét hiệu của biểu thức với chính tổng $(a+b+c)$.
Ta xét hiệu: $H = (a^5 + b^5 + c^5) - (a + b + c) = (a^5 - a) + (b^5 - b) + (c^5 - c)$.
Bước 1: Chứng minh $(x^5 - x)$ chia hết cho 30 với mọi số nguyên $x$
Ta phân tích đa thức $x^5 - x$ thành nhân tử:
$x^5 - x = x(x^4 - 1) = x(x^2 - 1)(x^2 + 1) = x(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$
$x^5 - x = (x - 1)x(x + 1)(x^2 - 4 + 5) = (x - 1)x(x + 1)(x^2 - 4) + 5(x - 1)x(x + 1)$
$x^5 - x = (x - 2)(x - 1)x(x + 1)(x + 2) + 5(x - 1)x(x + 1)$
Chứng minh chia hết cho 6:
Trong cả hai số hạng của tích trên đều chứa $(x - 1)x(x + 1)$, đây là tích của 3 số nguyên liên tiếp. Trong 3 số nguyên liên tiếp chắc chắn có ít nhất một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3. Vì $\text{UCLN}(2,3)=1$ nên tích của chúng chia hết cho $2 \times 3 = 6$.
Do đó, $x^5 - x$ luôn chia hết cho 6.
Chứng minh chia hết cho 5:
Số hạng thứ nhất là $(x - 2)(x - 1)x(x + 1)(x + 2)$, đây là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên luôn luôn chia hết cho 5.
Số hạng thứ hai là $5(x - 1)x(x + 1)$ hiển nhiên có chứa thừa số 5 nên chia hết cho 5.
Vì cả hai số hạng đều chia hết cho 5 nên tổng của chúng, tức là $x^5 - x$, chia hết cho 5.
Vì $x^5 - x$ vừa chia hết cho 6, vừa chia hết cho 5, mà $\text{UCLN}(6,5)=1$ nên:
$(x^5 - x) \ \vdots \ (6 \times 5) \Rightarrow (x^5 - x) \ \vdots \ 30 \quad \text{với mọi } x \in \mathbb{Z}$
Bước 2: Áp dụng vào bài toán
Áp dụng tính chất trên cho cả ba số $a, b, c$, ta có:
$(a^5 - a) \ \vdots \ 30$
$(b^5 - b) \ \vdots \ 30$
$(c^5 - c) \ \vdots \ 30$
Cộng vế theo vế ba dòng trên, ta được:
$[(a^5 - a) + (b^5 - b) + (c^5 - c)] \ \vdots \ 30$
$\Rightarrow (a^5 + b^5 + c^5) - (a + b + c) \ \vdots \ 30$
Mà theo giả thiết của đề bài, ta có $a + b + c = 0$. Thay vào biểu thức ta được:
$(a^5 + b^5 + c^5) - 0 \ \vdots \ 30$
$\Rightarrow a^5 + b^5 + c^5 \ \vdots \ 30$
Kết luận: Vậy với $a, b, c \in \mathbb{Z}$ thỏa mãn $a + b + c = 0$ thì $a^5 + b^5 + c^5$ luôn chia hết cho $30$ (đpcm).

...Xem thêm

Answer 4

Để chứng minh $A = a^5 + b^5 + c^5$ chia hết cho $30$ với $a, b, c \in \mathbb{Z}$ và $a + b + c = 0$, ta cần chứng minh $A$ đồng thời chia hết cho các số $2, 3, 5$ (vì $2, 3, 5$ là các số nguyên tố cùng nhau từng đôi một và $2 \times 3 \times 5 = 30$).
Một phương pháp rất hiệu quả cho dạng bài này là sử dụng Định lý Fermat nhỏ hoặc xét hiệu của biểu thức với chính tổng $(a+b+c)$.
Ta xét hiệu: $H = (a^5 + b^5 + c^5) - (a + b + c) = (a^5 - a) + (b^5 - b) + (c^5 - c)$.
Bước 1: Chứng minh $(x^5 - x)$ chia hết cho 30 với mọi số nguyên $x$
Ta phân tích đa thức $x^5 - x$ thành nhân tử:
$x^5 - x = x(x^4 - 1) = x(x^2 - 1)(x^2 + 1) = x(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$
$x^5 - x = (x - 1)x(x + 1)(x^2 - 4 + 5) = (x - 1)x(x + 1)(x^2 - 4) + 5(x - 1)x(x + 1)$
$x^5 - x = (x - 2)(x - 1)x(x + 1)(x + 2) + 5(x - 1)x(x + 1)$
Chứng minh chia hết cho 6:
Trong cả hai số hạng của tích trên đều chứa $(x - 1)x(x + 1)$, đây là tích của 3 số nguyên liên tiếp. Trong 3 số nguyên liên tiếp chắc chắn có ít nhất một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3. Vì $\text{UCLN}(2,3)=1$ nên tích của chúng chia hết cho $2 \times 3 = 6$.
Do đó, $x^5 - x$ luôn chia hết cho 6.
Chứng minh chia hết cho 5:
Số hạng thứ nhất là $(x - 2)(x - 1)x(x + 1)(x + 2)$, đây là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên luôn luôn chia hết cho 5.
Số hạng thứ hai là $5(x - 1)x(x + 1)$ hiển nhiên có chứa thừa số 5 nên chia hết cho 5.
Vì cả hai số hạng đều chia hết cho 5 nên tổng của chúng, tức là $x^5 - x$, chia hết cho 5.
Vì $x^5 - x$ vừa chia hết cho 6, vừa chia hết cho 5, mà $\text{UCLN}(6,5)=1$ nên:
$(x^5 - x) \ \vdots \ (6 \times 5) \Rightarrow (x^5 - x) \ \vdots \ 30 \quad \text{với mọi } x \in \mathbb{Z}$
Bước 2: Áp dụng vào bài toán
Áp dụng tính chất trên cho cả ba số $a, b, c$, ta có:
$(a^5 - a) \ \vdots \ 30$
$(b^5 - b) \ \vdots \ 30$
$(c^5 - c) \ \vdots \ 30$
Cộng vế theo vế ba dòng trên, ta được:
$[(a^5 - a) + (b^5 - b) + (c^5 - c)] \ \vdots \ 30$
$\Rightarrow (a^5 + b^5 + c^5) - (a + b + c) \ \vdots \ 30$
Mà theo giả thiết của đề bài, ta có $a + b + c = 0$. Thay vào biểu thức ta được:
$(a^5 + b^5 + c^5) - 0 \ \vdots \ 30$
$\Rightarrow a^5 + b^5 + c^5 \ \vdots \ 30$
Kết luận: Vậy với $a, b, c \in \mathbb{Z}$ thỏa mãn $a + b + c = 0$ thì $a^5 + b^5 + c^5$ luôn chia hết cho $30$ (đpcm).

2 câu trả lời 161

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 8