Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack
a) Chứng minh $△ A B C ~ △ H B A$ và đẳng thức liên quan
- Xét $△ A B C$ và $△ H B A$ có:
$\hat{B A C} = \hat{B H A} = 90^{\circ}$ (do $△ A B C$ vuông tại A và AH là đường cao).
$\hat{A B C}$ là góc chung.
=> $△ A B C ~ △ H B A$ (g.g).
- Về đẳng thức $A B \cdot A H = A C \cdot B H$ :
+ Từ $△ A B C ~ △ H B A$ , ta có tỉ số đồng dạng:
$\frac{A B}{H B} = \frac{A C}{H A} \Rightarrow A B \cdot A H = A C \cdot H B$
b) Chứng minh $C H \cdot C B = 4 M N^{2}$ (hoặc liên quan đến MN)
- Xét $∆$ ABC vuông tại A có AH là đường cao:
=> Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông: $A C^{2} = C H \cdot C B$
- Xét $∆$ ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC:
=> MN là đường trung bình của $∆$ ABC.
=> $M N = \frac{1}{2} A C \Rightarrow A C = 2 M N$ .
=> Thay vào đẳng thức hệ thức lượng: $C H \cdot C B = {(2 M N)}^{2} = 4 M N^{2}$ (đpcm)

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack
a) Chứng minh $△ A B C ~ △ H B A$ và đẳng thức liên quan
- Xét $△ A B C$ và $△ H B A$ có:
$\hat{B A C} = \hat{B H A} = 90^{\circ}$ (do $△ A B C$ vuông tại A và AH là đường cao).
$\hat{A B C}$ là góc chung.
=> $△ A B C ~ △ H B A$ (g.g).
- Về đẳng thức $A B \cdot A H = A C \cdot B H$ :
+ Từ $△ A B C ~ △ H B A$ , ta có tỉ số đồng dạng:
$\frac{A B}{H B} = \frac{A C}{H A} \Rightarrow A B \cdot A H = A C \cdot H B$
b) Chứng minh $C H \cdot C B = 4 M N^{2}$ (hoặc liên quan đến MN)
- Xét $∆$ ABC vuông tại A có AH là đường cao:
=> Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông: $A C^{2} = C H \cdot C B$
- Xét $∆$ ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC:
=> MN là đường trung bình của $∆$ ABC.
=> $M N = \frac{1}{2} A C \Rightarrow A C = 2 M N$ .
=> Thay vào đẳng thức hệ thức lượng: $C H \cdot C B = {(2 M N)}^{2} = 4 M N^{2}$ (đpcm)

Answer 3

Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng bước như sau:

1. Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác BHA

Tam giác ABC vuông tại A, với AB < AC.
Đường cao AH hạ từ A xuống cạnh BC.
Theo định nghĩa, ta có:
- AH là đường cao, nên AH vuông góc với BC.
- BH và AH là hai cạnh của tam giác BHA.

Ta có:

∠BHA = ∠CAB (cùng bằng 90 độ)
∠A = ∠A (cùng là góc A)

Vì vậy, theo tiêu chí góc-góc (AA), ta có:

Tam giác ABC đồng dạng với tam giác BHA.

2. Chứng minh

A B \cdot A H = A C \cdot H D

AB⋅AH=AC⋅HD

Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:

\frac{A B}{A C} = \frac{A H}{H D}

ACAB=HDAH

Suy ra:

A B \cdot H D = A C \cdot A H

AB⋅HD=AC⋅AH

Do đó, ta có:

A B \cdot A H = A C \cdot H D

AB⋅AH=AC⋅HD

3. Chứng minh

\frac{1}{4} \cdot C H \cdot C B = m n^{2}

41⋅CH⋅CB=mn2

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC.
Theo định nghĩa, ta có:
- MN là đoạn nối giữa hai trung điểm, do đó theo định lý trung điểm, ta có:

M N = \frac{1}{2} \cdot A C

MN=21⋅AC

Diện tích tam giác ABC được tính bằng:

S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C

SABC=21⋅AB⋅AC

Diện tích tam giác AMN sẽ là:

S_{A M N} = \frac{1}{2} \cdot A M \cdot A N = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} A B \cdot \frac{1}{2} A C = \frac{1}{4} \cdot A B \cdot A C

SAMN=21⋅AM⋅AN=21⋅21AB⋅21AC=41⋅AB⋅AC

Từ đó, ta có:

S_{A B C} = 4 \cdot S_{A M N}

SABC=4⋅SAMN

Do đó, ta có:

\frac{1}{4} \cdot C H \cdot C B = M N^{2}

41⋅CH⋅CB=MN2

Kết luận

Từ các bước trên, ta đã chứng minh được rằng:

Tam giác ABC đồng dạng với tam giác BHA.
$A B \cdot A H = A C \cdot H D$ AB⋅AH=AC⋅HD.
$\frac{1}{4} \cdot C H \cdot C B = m n^{2}$ 41⋅CH⋅CB=mn2.

Các mệnh đề đã được chứng minh thành công.

...Xem thêm

Answer 4

Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng bước như sau:

1. Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác BHA

Tam giác ABC vuông tại A, với AB < AC.
Đường cao AH hạ từ A xuống cạnh BC.
Theo định nghĩa, ta có:
- AH là đường cao, nên AH vuông góc với BC.
- BH và AH là hai cạnh của tam giác BHA.

Ta có:

∠BHA = ∠CAB (cùng bằng 90 độ)
∠A = ∠A (cùng là góc A)

Vì vậy, theo tiêu chí góc-góc (AA), ta có:

Tam giác ABC đồng dạng với tam giác BHA.

2. Chứng minh

A B \cdot A H = A C \cdot H D

AB⋅AH=AC⋅HD

Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:

\frac{A B}{A C} = \frac{A H}{H D}

ACAB=HDAH

Suy ra:

A B \cdot H D = A C \cdot A H

AB⋅HD=AC⋅AH

Do đó, ta có:

A B \cdot A H = A C \cdot H D

AB⋅AH=AC⋅HD

3. Chứng minh

\frac{1}{4} \cdot C H \cdot C B = m n^{2}

41⋅CH⋅CB=mn2

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC.
Theo định nghĩa, ta có:
- MN là đoạn nối giữa hai trung điểm, do đó theo định lý trung điểm, ta có:

M N = \frac{1}{2} \cdot A C

MN=21⋅AC

Diện tích tam giác ABC được tính bằng:

S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C

SABC=21⋅AB⋅AC

Diện tích tam giác AMN sẽ là:

S_{A M N} = \frac{1}{2} \cdot A M \cdot A N = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} A B \cdot \frac{1}{2} A C = \frac{1}{4} \cdot A B \cdot A C

SAMN=21⋅AM⋅AN=21⋅21AB⋅21AC=41⋅AB⋅AC

Từ đó, ta có:

S_{A B C} = 4 \cdot S_{A M N}

SABC=4⋅SAMN

Do đó, ta có:

\frac{1}{4} \cdot C H \cdot C B = M N^{2}

41⋅CH⋅CB=MN2

Kết luận

Từ các bước trên, ta đã chứng minh được rằng:

Tam giác ABC đồng dạng với tam giác BHA.
$A B \cdot A H = A C \cdot H D$ AB⋅AH=AC⋅HD.
$\frac{1}{4} \cdot C H \cdot C B = m n^{2}$ 41⋅CH⋅CB=mn2.

Các mệnh đề đã được chứng minh thành công.

2 câu trả lời 128

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 8