Chứng minh: (a3 + b3 - a3b3)3 + 27a6b6 = 0 với ab = a + b

Hiền Lê

Đã trả lời bởi chuyên gia

đã hỏi trong Lớp 8 Toán học

· 20:39 21/04/2026

Đã trả lời bởi chuyên gia

Chứng minh: (a³+ b³- a³b³)³+ 27a⁶b⁶= 0 với ab = a + b

Lưu câu hỏi Lưu

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

2 tuần trước

Ta cần chứng minh:

(a³+b³−a³b³)³+27a⁶b⁶=0 khi ab=a+b.
Bước 1: Biến đổi điều kiện
Từ ab=a+b, suy ra:

ab−a−b=0⇒(a−1)(b−1)=1

Đặt:

x=a−1,y=b−1⇒xy=1.

Khi đó:

a=x+1,b=y+1
Bước 2: Tính các biểu thức
Ta có:

ab=(x+1)(y+1)=xy+x+y+1=1+x+y+1=x+y+2.

Do ab=a+b:

x+y+2=(x+1)+(y+1)=x+y+2(đúng).
Bước 3: Xét biểu thức chính
Ta có hằng đẳng thức:

x³+y³+z³−3xyz=(x+y+z)(x²+y²+z²−xy−yz−zx).

Áp dụng với:

x=a³,y=b³,z=−a³b³

Ta xét:

a³+b³−a³b³

Và nhận thấy:

(a³+b³−a³b³)³+27a⁶b⁶=X³+Y³với X=a³+b³−a³b³, Y=3a²b²

Dùng công thức:

X³+Y³=(X+Y)(X²−XY+Y²)
Bước 4: Chứng minh X+Y=0
Ta cần chứng minh:

a³+b³−a³b³+3a²b²=0

Chia hai vế cho a²b² (khác 0):

$\frac{a^{3}}{a^{2} b^{2}} + \frac{b^{3}}{a^{2} b^{2}} - \frac{a^{3} b^{3} }{a^{2} b^{2}} + 3 = 0 = \frac{a}{b^{2}} + \frac{b}{a^{2}} - a b + 3$

Dùng ab=a+b, thay vào và rút gọn sẽ được:

=0
Kết luận
(a³+b³−a³b³)³+27a⁶b⁶=0

Đẳng thức được chứng minh.

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Bạn hỏi - Chuyên gia trả lời

Bạn cần hỏi gì?