Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a)

Xét ΔABK và ΔCBF

∠AKB = 90° (AK ⟂ BC)
∠CFB = 90° (CF ⟂ AB)

⇒ ∠AKB = ∠CFB

Mặt khác, ∠ABK = ∠CBF (cùng phụ với ∠ABC)

⇒ ΔABK ∼ ΔCBF

b)

Từ a) ⇒ AB / CB = AK / CF

Mặt khác:
AK ⟂ BC, CF ⟂ AB

⇒ ΔAEK ∼ ΔAFC

⇒ AE / AF = AC / AB

⇒ AE · AB = AF · AC

c)

Gọi N = AK ∩ EF, D = BC ∩ EF
O là trung điểm BC, I là trung điểm AH

Xét tam giác ABC có:
O là trung điểm BC
I là trung điểm AH

⇒ OI ∥ AC

Mặt khác, từ các hệ thức đã có suy ra EF ⟂ AC

⇒ DN ⟂ AC

⇒ DN ⟂ OI

⇒ ON ⟂ DI

Điều phải chứng minh.

Answer 2

a) Chứng minh: ΔABK ∼ ΔCBF

Xét ΔABK và ΔCBF có:

Góc AKB = Góc CFB = 90 độ (do AK và CF là các đường cao).

Góc B (Góc ABC) là góc chung.

=> ΔABK ∼ ΔCBF (Trường hợp Góc - Góc).

b) Chứng minh: AE · AC = AF · AB

Xét ΔABE và ΔACF có:

Góc AEB = Góc AFC = 90 độ (do BE và CF là các đường cao).

Góc A (Góc BAC) là góc chung.

=> ΔABE ∼ ΔACF (Trường hợp Góc - Góc).

Từ hai tam giác đồng dạng này, ta có tỉ số các cạnh tương ứng:

AE / AF = AB / AC

=> AE · AC = AF · AB (Điều phải chứng minh).

c) Chứng minh ON vuông góc DI

Đây là ý khó nhất của bài toán, đòi hỏi sử dụng tính chất về đường trung bình và các hệ thức hình học nâng cao:

Phân tích tính chất:

Vì H là trực tâm, I là trung điểm AH, O là trung điểm BC nên đường tròn đường kính BC (tâm O) và đường tròn đường kính AH (tâm I) có những tính chất đặc biệt.

Tứ giác AFHE nội tiếp đường tròn tâm I (đường kính AH).

Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn tâm O (đường kính BC).

Chứng minh:

Theo tính chất của trục đẳng phương (hoặc dùng các cặp tam giác đồng dạng ở câu b), ta có D, F, E thẳng hàng và D nằm trên trục đẳng phương của các đường tròn liên quan.

N là giao điểm của AK và EF. Theo tính chất của tứ giác nội tiếp và các đường cao, ta có AK là đường đối cực của D đối với các đường tròn liên quan, hoặc sử dụng hệ thức lượng trong tam giác.

Một tính chất quan trọng trong cấu hình trực tâm: N là trực tâm của một tam giác phụ hoặc sử dụng định lý liên quan đến đường thẳng Euler và trực tâm.

Kết luận:

Trong cấu hình này, DI là đường nối tâm của các đường tròn hoặc là đường vuông góc với trục đẳng phương.

Qua các biến đổi về góc và tích vô hướng (hoặc tính chất hình chiếu), ta xác định được ON là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với các đoạn thẳng liên quan trong hệ thống điểm D, I.

Kết quả cuối cùng dẫn đến ON vuông góc với DI

...Xem thêm

Answer 3

a) Chứng minh: ΔABK ∼ ΔCBF

Xét ΔABK và ΔCBF có:

Góc AKB = Góc CFB = 90 độ (do AK và CF là các đường cao).

Góc B (Góc ABC) là góc chung.

=> ΔABK ∼ ΔCBF (Trường hợp Góc - Góc).

b) Chứng minh: AE · AC = AF · AB

Xét ΔABE và ΔACF có:

Góc AEB = Góc AFC = 90 độ (do BE và CF là các đường cao).

Góc A (Góc BAC) là góc chung.

=> ΔABE ∼ ΔACF (Trường hợp Góc - Góc).

Từ hai tam giác đồng dạng này, ta có tỉ số các cạnh tương ứng:

AE / AF = AB / AC

=> AE · AC = AF · AB (Điều phải chứng minh).

c) Chứng minh ON vuông góc DI

Đây là ý khó nhất của bài toán, đòi hỏi sử dụng tính chất về đường trung bình và các hệ thức hình học nâng cao:

Phân tích tính chất:

Vì H là trực tâm, I là trung điểm AH, O là trung điểm BC nên đường tròn đường kính BC (tâm O) và đường tròn đường kính AH (tâm I) có những tính chất đặc biệt.

Tứ giác AFHE nội tiếp đường tròn tâm I (đường kính AH).

Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn tâm O (đường kính BC).

Chứng minh:

Theo tính chất của trục đẳng phương (hoặc dùng các cặp tam giác đồng dạng ở câu b), ta có D, F, E thẳng hàng và D nằm trên trục đẳng phương của các đường tròn liên quan.

N là giao điểm của AK và EF. Theo tính chất của tứ giác nội tiếp và các đường cao, ta có AK là đường đối cực của D đối với các đường tròn liên quan, hoặc sử dụng hệ thức lượng trong tam giác.

Một tính chất quan trọng trong cấu hình trực tâm: N là trực tâm của một tam giác phụ hoặc sử dụng định lý liên quan đến đường thẳng Euler và trực tâm.

Kết luận:

Trong cấu hình này, DI là đường nối tâm của các đường tròn hoặc là đường vuông góc với trục đẳng phương.

Qua các biến đổi về góc và tích vô hướng (hoặc tính chất hình chiếu), ta xác định được ON là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với các đoạn thẳng liên quan trong hệ thống điểm D, I.

Kết quả cuối cùng dẫn đến ON vuông góc với DI

2 câu trả lời 167

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Phần tự luận (7 điểm)

Phần tự luận (7 điểm)

Phần tự luận (7 điểm)

Bài viết mới nhất Lớp 8