Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

`a)`

Vì `ΔABC` cân tại `A` và `H` là trung điểm `BC` nên `AH bot BC`(t/c Δ cân)

Ta có:

`HE bot AC`(g t)

`BK bot AC`( g t)

`-> HE////BK`

Xét `ΔAHE` và `ΔBCK`

`hat{AEH}=hat{BKC}=90^o`

`hat{HAE}=hat{KBC}`(cùng phụ vs `hat{C}`)

Vậy `ΔAHE~ΔBCK(g.g)`

`b)`

Từ `ΔAHE~ΔBCK`(chứng minh câu a)

Ta có: `(AE)/(BK)=(HE)/(CK)`

Vì `HE////BK,H` là trung điểm `BC`

Theo định lí Thales trong `ΔBCK,` ta có:

`E` là trung điểm của `CK -> CK=2EK`

Mà O là trung điểm `HE(g t)->HE=2OE`

Thay vào tỉ số: `(AE)/(BK)=(2OE)/(2EK)=(OE)/(EK)`

`Suy ra AE*AK=BK*OE(đpcm)`

Vậy `AE*AK=BK*OE`

`c)`

Xét `ΔAOE và ΔBEK:`

`hat{AEO}=hat{BKE}=90^o`

`(AE)/(OE)=(BK)/(EK)`(từ tỉ số ở câu b)

`-> ΔAOE~ΔBEK(c.g.c)`

`->hat{OAE}=hat{EBK}`

Gọi I là giao điểm `AO` và` BE,` ta có:

Trong `ΔABK` vuông tại K:

`hat{BAK}+hat{ABK}=90^o`

`->(hat{BAI}+hat{IAE}+hat{ABKƯ=90^o`

Mà `hat{IAE}=hat{EBK}->hat{BAI}+hat{EBK}+hat{ABK}=90^O->hat{BAI}hat{ABI}=90^o`

Vậy `hat{AIB}=90^o -> OA bot BE`

...Xem thêm

Answer 2

`a)`

Vì `ΔABC` cân tại `A` và `H` là trung điểm `BC` nên `AH bot BC`(t/c Δ cân)

Ta có:

`HE bot AC`(g t)

`BK bot AC`( g t)

`-> HE////BK`

Xét `ΔAHE` và `ΔBCK`

`hat{AEH}=hat{BKC}=90^o`

`hat{HAE}=hat{KBC}`(cùng phụ vs `hat{C}`)

Vậy `ΔAHE~ΔBCK(g.g)`

`b)`

Từ `ΔAHE~ΔBCK`(chứng minh câu a)

Ta có: `(AE)/(BK)=(HE)/(CK)`

Vì `HE////BK,H` là trung điểm `BC`

Theo định lí Thales trong `ΔBCK,` ta có:

`E` là trung điểm của `CK -> CK=2EK`

Mà O là trung điểm `HE(g t)->HE=2OE`

Thay vào tỉ số: `(AE)/(BK)=(2OE)/(2EK)=(OE)/(EK)`

`Suy ra AE*AK=BK*OE(đpcm)`

Vậy `AE*AK=BK*OE`

`c)`

Xét `ΔAOE và ΔBEK:`

`hat{AEO}=hat{BKE}=90^o`

`(AE)/(OE)=(BK)/(EK)`(từ tỉ số ở câu b)

`-> ΔAOE~ΔBEK(c.g.c)`

`->hat{OAE}=hat{EBK}`

Gọi I là giao điểm `AO` và` BE,` ta có:

Trong `ΔABK` vuông tại K:

`hat{BAK}+hat{ABK}=90^o`

`->(hat{BAI}+hat{IAE}+hat{ABKƯ=90^o`

Mà `hat{IAE}=hat{EBK}->hat{BAI}+hat{EBK}+hat{ABK}=90^O->hat{BAI}hat{ABI}=90^o`

Vậy `hat{AIB}=90^o -> OA bot BE`

Answer 3

Hỏi đáp VietJack
a) Chứng minh $∆$ AHE $\approx$ $∆$ BCK
- Xét các góc vuông:
+ Vì H là trung điểm của BC trong $∆$ ABC cân tại A nên AH $⊥$ BC tại H => $\hat{A H C} = 90^{\circ} .$
+ Theo giả thiết, HE $⊥$ AC => $\hat{A E H} = 90^{\circ} .$
+ Lại có BK $⊥$ AC => $\hat{B K C} = 90^{\circ} .$
- Xét $∆$ AHE và $∆$ BCK:
$\hat{A E H} = \hat{B K C} = 90^{\circ} .$
- Vì $△ A B C$ cân tại A nên $\hat{H A C} + \hat{C} = 90^{\circ}$ (trong $△ A H C$ vuông).
- Trong $∆$ BKC vuông tại K, ta cũng có $\hat{K B C} + \hat{C} = 90^{\circ} .$
=> $\hat{H A E} = \hat{K B C}$ (cùng phụ với góc C).
Vậy: $△ A H E ~ △ B C K$ (g.g). (Đpcm)

b) Chứng minh AE.EK = BK.OE
Từ kết quả đồng dạng ở câu (a), ta có tỉ số đồng dạng: $\frac{A E}{B K} = \frac{H E}{C K} = \frac{A H}{B C}$
- Ta có HE = 2.OE (vì O là trung điểm HE).
- Vì $△ A H E ~ △ B C K$ , ta có tỉ số: $\frac{A E}{B K} = \frac{H E}{C K} .$
=> AE. CK = BK.HE.
=> AE.CK = BK.(2.OE).
Mặt khác, trong $∆$ BKC có HE // BK (cùng $⊥$ AC).
Theo định lý Ta-lét trong $∆$ BKC, với H là trung điểm BC và HE // BK:
=> E là trung điểm CK. Do đó CK = 2.EK.
Thay CK = 2.EK vào biểu thức ở bước 2:
$A E \cdot (2 \cdot E K) = B K \cdot (2 \cdot O E) .$
=> AE.EK = BK.OE. (đpcm)

c) Chứng minh OA $⊥$ BE
- Xét $∆$ AEH vuông tại E và $∆$ BKE vuông tại K.
Từ hệ thức AE.EK = BK.OE (câu b), ta lập tỉ số: $\frac{A E}{B K} = \frac{O E}{E K}$
Xét $∆$ AOE và $∆$ BEK:
$\hat{A E O} = \hat{B K E} = 90^{\circ} .$
$\frac{A E}{B K} = \frac{O E}{E K}$ (chứng minh trên).
=> $△ A O E ~ △ B E K$ (c.g.c).
- Từ hai tam giác đồng dạng, ta suy ra các góc tương ứng bằng nhau: $\hat{O A E} = \hat{E B K} .$
- Gọi I là giao điểm của AO và BE. Xét $△ A B I$ (hoặc xét góc tại giao điểm):
Ta có $\hat{O A E} + \hat{A I E} = 90^{\circ}$ (trong tam giác vuông tại $E$).
Mà $\hat{O A E} = \hat{E B K} .$
=> $\hat{E B K} + \hat{A I E} = 90^{\circ} .$
Điều này dẫn đến góc tại giao điểm I phải là $90^{\circ} .$
Vậy OA $⊥$ BE tại I. (Đpcm)

...Xem thêm

Answer 4

Hỏi đáp VietJack
a) Chứng minh $∆$ AHE $\approx$ $∆$ BCK
- Xét các góc vuông:
+ Vì H là trung điểm của BC trong $∆$ ABC cân tại A nên AH $⊥$ BC tại H => $\hat{A H C} = 90^{\circ} .$
+ Theo giả thiết, HE $⊥$ AC => $\hat{A E H} = 90^{\circ} .$
+ Lại có BK $⊥$ AC => $\hat{B K C} = 90^{\circ} .$
- Xét $∆$ AHE và $∆$ BCK:
$\hat{A E H} = \hat{B K C} = 90^{\circ} .$
- Vì $△ A B C$ cân tại A nên $\hat{H A C} + \hat{C} = 90^{\circ}$ (trong $△ A H C$ vuông).
- Trong $∆$ BKC vuông tại K, ta cũng có $\hat{K B C} + \hat{C} = 90^{\circ} .$
=> $\hat{H A E} = \hat{K B C}$ (cùng phụ với góc C).
Vậy: $△ A H E ~ △ B C K$ (g.g). (Đpcm)

b) Chứng minh AE.EK = BK.OE
Từ kết quả đồng dạng ở câu (a), ta có tỉ số đồng dạng: $\frac{A E}{B K} = \frac{H E}{C K} = \frac{A H}{B C}$
- Ta có HE = 2.OE (vì O là trung điểm HE).
- Vì $△ A H E ~ △ B C K$ , ta có tỉ số: $\frac{A E}{B K} = \frac{H E}{C K} .$
=> AE. CK = BK.HE.
=> AE.CK = BK.(2.OE).
Mặt khác, trong $∆$ BKC có HE // BK (cùng $⊥$ AC).
Theo định lý Ta-lét trong $∆$ BKC, với H là trung điểm BC và HE // BK:
=> E là trung điểm CK. Do đó CK = 2.EK.
Thay CK = 2.EK vào biểu thức ở bước 2:
$A E \cdot (2 \cdot E K) = B K \cdot (2 \cdot O E) .$
=> AE.EK = BK.OE. (đpcm)

c) Chứng minh OA $⊥$ BE
- Xét $∆$ AEH vuông tại E và $∆$ BKE vuông tại K.
Từ hệ thức AE.EK = BK.OE (câu b), ta lập tỉ số: $\frac{A E}{B K} = \frac{O E}{E K}$
Xét $∆$ AOE và $∆$ BEK:
$\hat{A E O} = \hat{B K E} = 90^{\circ} .$
$\frac{A E}{B K} = \frac{O E}{E K}$ (chứng minh trên).
=> $△ A O E ~ △ B E K$ (c.g.c).
- Từ hai tam giác đồng dạng, ta suy ra các góc tương ứng bằng nhau: $\hat{O A E} = \hat{E B K} .$
- Gọi I là giao điểm của AO và BE. Xét $△ A B I$ (hoặc xét góc tại giao điểm):
Ta có $\hat{O A E} + \hat{A I E} = 90^{\circ}$ (trong tam giác vuông tại $E$).
Mà $\hat{O A E} = \hat{E B K} .$
=> $\hat{E B K} + \hat{A I E} = 90^{\circ} .$
Điều này dẫn đến góc tại giao điểm I phải là $90^{\circ} .$
Vậy OA $⊥$ BE tại I. (Đpcm)

2 câu trả lời 214

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Phần tự luận (7 điểm)

Phần tự luận (7 điểm)

Phần tự luận (7 điểm)

Bài viết mới nhất Lớp 8