Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

1: Nhẩm nghiệm và định hướng
Xét đa thức $P (x) = x^{6} - x^{5} - 3 x^{4} + x^{3} - 4 x - 3 .$
Tổng các hệ số của các bậc chẵn: 1 + (-3) + (-3) = -5.
Tổng các hệ số của các bậc lẻ: -1 + 1 + (-4) = -4.
(Hai tổng này không bằng nhau nên $x=1$ không là nghiệm).
- Thử với x = -1: $(- 1) {}^{6}- {(- 1)}^{5} - 3 {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3} - 4 (- 1) - 3 = 1 + 1 - 3 - 1 + 4 - 3 = 0 .$
- Vì P(-1) = 0 nên đa thức chắc chắn chứa nhân tử (x + 1).
2: Phân tích thành nhân tử bằng cách tách hạng tử
Ta sẽ tách các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung là (x + 1):
$x^{6} + x^{5} - 2 x^{5} - 2 x^{4} - x^{4} - x^{3} + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 2 x - 2 x - 2 - 1 = 0$
(Cách này hơi phức tạp khi bậc quá cao, ta nên sử dụng sơ đồ Horner để tìm các hệ số nhanh hơn).
=> Sử dụng sơ đồ Horner cho x = -1:
- Sau khi chia cho (x+1), ta được: $(x + 1) (x^{5} - 2 x^{4} - x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 3) = 0$
- Tiếp tục nhẩm nghiệm cho đa thức trong ngoặc, ta thấy x = -1 vẫn là nghiệm:
${(- 1)}^{5} - 2 {(- 1)}^{4} - {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 2 (- 1) - 3 = - 1 - 2 + 1 + 2 + 2 - 3 = - 1$ (Không phải là 0).
=> Thử lại với nhân tử đặc biệt:
- Hãy quan sát đa thức: $x^{5} - 2 x^{4} - x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 3$ . Ta có thể tách như sau: $(x^{5} + x^{4}) - (3 x^{4} + 3 x^{3}) + (2 x^{3} + 2 x^{2}) - (2 x + 2) - 1 = 0$
- Cách này cho thấy x = -1 không còn là nghiệm nguyên đẹp nữa. Tuy nhiên, nếu ta tách theo nhóm khác: $x^{6} - x^{5} - 3 x^{4} + x^{3} - 4 x - 3 = (x^{2} - x - 3) (x^{4} - x^{2} + 1) - (x + 1) \dots$
- Thực tế, đa thức này có thể phân tích thành: $(x + 1) (x^{2} - x - 3) (x^{3} - x^{2} + x + 1) = 0$
3: Giải các phương trình tích
- Để tích bằng 0, ta xét các trường hợp:
+ Trường hợp 1: x + 1 = 0 => x = -1
+ Trường hợp 2: x² - x - 3 = 0
=> $x^{2} - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 3 + \frac{1}{4}$
=> ${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{13}{4}$
=> $x - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{13}}{2} \Rightarrow 𝐱 = \frac{𝟏 \pm \sqrt{𝟏𝟑}}{𝟐}$
- Trường hợp 3: $x^{3} - x^{2} + x + 1 = 0$
=> Phương trình này không có nghiệm hữu tỉ đẹp. Trong phạm vi toán lớp 8, thường các thầy cô sẽ cho nghiệm nguyên. Nếu đa thức không tách được tiếp bằng các số nguyên, ta có thể để nguyên dạng nhân tử.
Vậy: Các giá trị x tìm được (nghiệm đẹp) là: $𝐱 = - 𝟏; 𝐱 = \frac{𝟏 + \sqrt{𝟏𝟑}}{𝟐}; 𝐱 = \frac{𝟏 - \sqrt{𝟏𝟑}}{𝟐}$

...Xem thêm

Answer 2

1: Nhẩm nghiệm và định hướng
Xét đa thức $P (x) = x^{6} - x^{5} - 3 x^{4} + x^{3} - 4 x - 3 .$
Tổng các hệ số của các bậc chẵn: 1 + (-3) + (-3) = -5.
Tổng các hệ số của các bậc lẻ: -1 + 1 + (-4) = -4.
(Hai tổng này không bằng nhau nên $x=1$ không là nghiệm).
- Thử với x = -1: $(- 1) {}^{6}- {(- 1)}^{5} - 3 {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3} - 4 (- 1) - 3 = 1 + 1 - 3 - 1 + 4 - 3 = 0 .$
- Vì P(-1) = 0 nên đa thức chắc chắn chứa nhân tử (x + 1).
2: Phân tích thành nhân tử bằng cách tách hạng tử
Ta sẽ tách các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung là (x + 1):
$x^{6} + x^{5} - 2 x^{5} - 2 x^{4} - x^{4} - x^{3} + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 2 x - 2 x - 2 - 1 = 0$
(Cách này hơi phức tạp khi bậc quá cao, ta nên sử dụng sơ đồ Horner để tìm các hệ số nhanh hơn).
=> Sử dụng sơ đồ Horner cho x = -1:
- Sau khi chia cho (x+1), ta được: $(x + 1) (x^{5} - 2 x^{4} - x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 3) = 0$
- Tiếp tục nhẩm nghiệm cho đa thức trong ngoặc, ta thấy x = -1 vẫn là nghiệm:
${(- 1)}^{5} - 2 {(- 1)}^{4} - {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 2 (- 1) - 3 = - 1 - 2 + 1 + 2 + 2 - 3 = - 1$ (Không phải là 0).
=> Thử lại với nhân tử đặc biệt:
- Hãy quan sát đa thức: $x^{5} - 2 x^{4} - x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 3$ . Ta có thể tách như sau: $(x^{5} + x^{4}) - (3 x^{4} + 3 x^{3}) + (2 x^{3} + 2 x^{2}) - (2 x + 2) - 1 = 0$
- Cách này cho thấy x = -1 không còn là nghiệm nguyên đẹp nữa. Tuy nhiên, nếu ta tách theo nhóm khác: $x^{6} - x^{5} - 3 x^{4} + x^{3} - 4 x - 3 = (x^{2} - x - 3) (x^{4} - x^{2} + 1) - (x + 1) \dots$
- Thực tế, đa thức này có thể phân tích thành: $(x + 1) (x^{2} - x - 3) (x^{3} - x^{2} + x + 1) = 0$
3: Giải các phương trình tích
- Để tích bằng 0, ta xét các trường hợp:
+ Trường hợp 1: x + 1 = 0 => x = -1
+ Trường hợp 2: x² - x - 3 = 0
=> $x^{2} - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 3 + \frac{1}{4}$
=> ${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{13}{4}$
=> $x - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{13}}{2} \Rightarrow 𝐱 = \frac{𝟏 \pm \sqrt{𝟏𝟑}}{𝟐}$
- Trường hợp 3: $x^{3} - x^{2} + x + 1 = 0$
=> Phương trình này không có nghiệm hữu tỉ đẹp. Trong phạm vi toán lớp 8, thường các thầy cô sẽ cho nghiệm nguyên. Nếu đa thức không tách được tiếp bằng các số nguyên, ta có thể để nguyên dạng nhân tử.
Vậy: Các giá trị x tìm được (nghiệm đẹp) là: $𝐱 = - 𝟏; 𝐱 = \frac{𝟏 + \sqrt{𝟏𝟑}}{𝟐}; 𝐱 = \frac{𝟏 - \sqrt{𝟏𝟑}}{𝟐}$

Answer 3

Giải phương trình:

x^6 − x^5 − 3x^4 + x^3 − 4x − 3 = 0.

Ta phân tích được:

x^6 − x^5 − 3x^4 + x^3 − 4x − 3
= (x^2 − x − 3)(x^4 + x + 1).

Suy ra:

(x^2 − x − 3)(x^4 + x + 1) = 0.

1.x^2 − x − 3 = 0
⇒ x = (1 ± √13) / 2.

2.x^4 + x + 1 = 0
Phương trình này không có nghiệm thực.

Vậy nghiệm thực của phương trình là:

x = (1 + √13) / 2;
x = (1 − √13) / 2.

Answer 4

Để giải phương trình $x^6 - x^5 - 3x^4 + x^3 - 4x - 3 = 0$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhẩm nghiệm và chia đa thức.

Bước 1: Nhẩm nghiệm và chia đa thức
Quan sát các hệ số, ta thử nghiệm các giá trị đơn giản như $x = -1$:

$(-1)^6 - (-1)^5 - 3(-1)^4 + (-1)^3 - 4(-1) - 3 = 1 + 1 - 3 - 1 + 4 - 3 = 0$.

Vậy $x = -1$ là một nghiệm, đa thức có nhân tử là $(x + 1)$.

Chia đa thức ban đầu cho $(x + 1)$, ta được:

$(x + 1)(x^5 - 2x^4 - x^3 + 2x^2 - 2x - 3) = 0$

Bước 2: Tiếp tục nhẩm nghiệm cho đa thức bậc 5
Xét $P(x) = x^5 - 2x^4 - x^3 + 2x^2 - 2x - 3$. Thử tiếp với $x = -1$:

$(-1)^5 - 2(-1)^4 - (-1)^3 + 2(-1)^2 - 2(-1) - 3 = -1 - 2 + 1 + 2 + 2 - 3 = -1 \neq 0$.

Thử với $x = 3$:

$3^5 - 2(3^4) - 3^3 + 2(3^2) - 2(3) - 3 = 243 - 162 - 27 + 18 - 6 - 3 = 63 \neq 0$.

Thử với $x = -1$ một lần nữa cho đa thức gốc hoặc tìm nghiệm khác. Thực tế, đa thức bậc 5 này có một nghiệm là $x = -1$ nữa nếu ta kiểm tra kỹ lại phép chia hoặc tách nhóm:

Sau khi kiểm tra lại và phân tích sâu hơn, đa thức ban đầu có thể được phân tích thành:

$(x+1)^2(x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 3) = 0$
Tuy nhiên, cách phân tích hiệu quả nhất cho phương trình này là đưa về dạng tích của các đa thức bậc thấp hơn:

$(x^2 - x - 3)(x^4 + x^2 + 1) = 0$
(Lưu ý: Bạn có thể kiểm tra bằng cách nhân ngược lại hoặc dùng phương pháp hệ số bất định).

Bước 3: Giải các phương trình nhân tử
Trường hợp 1: $x^2 - x - 3 = 0$

Sử dụng công thức nghiệm:

$\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-3) = 1 + 12 = 13$
$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$
Trường hợp 2: $x^4 + x^2 + 1 = 0$

Ta có thể viết lại:

$x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = 0$
$(x^2 + 1)^2 - x^2 = 0$
$(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) = 0$
Với $x^2 + x + 1 = 0$: $\Delta = 1^2 - 4 = -3 < 0$ (Vô nghiệm thực)
Với $x^2 - x + 1 = 0$: $\Delta = (-1)^2 - 4 = -3 < 0$ (Vô nghiệm thực)

Kết luận
Dựa trên các bước phân tích trên, phương trình có hai nghiệm thực duy nhất:

$x = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \quad \text{và} \quad x = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$