Chúng ta có biểu thức:

[
M = x^2 + 10y^2 + 6xy - 10y + 2047
]

Mục tiêu: tìm giá trị nhỏ nhất của M và giá trị x, y tương ứng.

Bước 1: Nhóm hằng đẳng thức để hoàn thành bình phương
Biểu thức theo (x) và (y):

[
M = x^2 + 6xy + 10y^2 - 10y + 2047
]

Nhóm phần theo (x): (x^2 + 6xy = x^2 + 6y x = x^2 + 6y x + 9y^2 - 9y^2 = (x + 3y)^2 - 9y^2)
Thay vào M:
[
M = (x + 3y)^2 - 9y^2 + 10y^2 - 10y + 2047 = (x + 3y)^2 + y^2 - 10y + 2047
]

Bước 2: Hoàn thành bình phương theo y
[
y^2 - 10y = y^2 - 10y + 25 - 25 = (y - 5)^2 - 25
]

Thay vào M:

[
M = (x + 3y)^2 + (y - 5)^2 - 25 + 2047 = (x + 3y)^2 + (y - 5)^2 + 2022
]

Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất
Bình phương luôn ≥ 0 → để M nhỏ nhất, cần:
[
x + 3y = 0 \quad \text{và} \quad y - 5 = 0
]

Giải hệ:
[
y - 5 = 0 \implies y = 5
]

[
x + 3y = 0 \implies x + 15 = 0 \implies x = -15
]

Bước 4: Giá trị nhỏ nhất của M
[
M_{\min} = (0)^2 + (0)^2 + 2022 = 2022
]

 Kết luận:
Giá trị x, y để M nhỏ nhất: (x = -15, y = 5)
Giá trị nhỏ nhất của M: (M_{\min} = 2022)

Nếu muốn, mình có thể vẽ hình minh họa M như là “hình chóp paraboloid” có đỉnh ở (-15,5) để trực quan hóa giá trị nhỏ nhất.

Bạn có muốn mình vẽ không?

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

[
M = x^2 + 10y^2 + 6xy - 10y + 2047
]

Đây là biểu thức bậc hai theo hai biến x, y.
Ta sẽ quy về dạng bình phương để tìm min.

🔍 Bước 1: Gom nhóm theo x
[
M = x^2 + 6xy + 10y^2 - 10y + 2047
]

Nhóm ba hạng tử đầu:

[
x^2 + 6xy + 9y^2 + y^2 - 10y + 2047
]

Nhận ra:

[
x^2 + 6xy + 9y^2 = (x + 3y)^2
]

Vậy:

[
M = (x+3y)^2 + y^2 - 10y + 2047
]

🔍 Bước 2: Quy về bình phương theo y
[
y^2 - 10y = (y^2 - 10y + 25) - 25 = (y - 5)^2 - 25
]

Thay vào:

[
M = (x+3y)^2 + (y - 5)^2 - 25 + 2047
]

[
M = (x+3y)^2 + (y - 5)^2 + 2022
]

⭐ Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất
Hai bình phương:

[
(x+3y)^2 \ge 0, \quad (y - 5)^2 \ge 0
]

Giá trị nhỏ nhất đạt được khi:

[
x + 3y = 0
]
[
y - 5 = 0 \Rightarrow y = 5
]

Thế vào:

[
x + 3\cdot 5 = 0 \Rightarrow x + 15 = 0 \Rightarrow x = -15
]

⭐ Giá trị nhỏ nhất
[
M_{\min} = 2022
]

✅ KẾT LUẬN
( \boxed{x = -15,; y = 5} )
(\boxed{M_{\min} = 2022})

Nếu bạn cần mình trình bày theo kiểu bài tự luận đầy đủ để nộp bài thì mình viết lại cho bạn nhé!