Dưới đây là lời giải chi tiết cho các phần bài tập của bạn:

---

### **Dữ liệu đề bài:**

- Tam giác \( ABC \) nhọn.
- Các đường cao \( AI \) (dài từ \( A \) vuông góc xuống \( BC \)), \( BQ \) (dài từ \( B \) vuông góc xuống \( AC \)), cắt nhau tại \( M \).
- \( P \) là trung điểm của \( AI \).

---

### **Phần a): Chứng minh \( \boxed{\text{Tứ giác } AMPQ \text{ là hình chữ nhật}} \)**

**Bước 1:** Xác định các điểm và tính chất:

- \( P \) là trung điểm của \( AI \), nên:

\[
AP = PI
\]

- \( AI \) là đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).
- \( BQ \) là đường cao từ \( B \) xuống \( AC \).
- \( M \) là giao điểm của \( AI \) và \( BQ \).

**Bước 2:** Chứng minh các góc của tứ giác \( AMPQ \):

- Xác định các góc tại các đỉnh.

**Bước 3:** Chứng minh \( AMPQ \) là hình chữ nhật:

- **Chứng minh các góc của tứ giác đều là \( 90^\circ \):**

- **Góc tại \( P \):**
Vì \( P \) là trung điểm của \( AI \), và \( AI \) là đường cao, nên \( AP \) vuông góc với \( BC \).

- **Góc tại \( Q \):**
Tương tự, \( Q \) là chân đường cao từ \( B \), vì vậy \( BQ \) vuông góc với \( AC \).

- **Góc tại \( M \):**
Giao điểm của hai đường cao, nên \( M \) là trực tâm của \( \triangle ABC \), do đó:

\[
AM \perp BC \quad \text{và} \quad BM \perp AC
\]

- Trong tứ giác \( AMPQ \), các góc tại các đỉnh đều là góc vuông, vì các đường cao tạo thành góc \( 90^\circ \).

**Kết luận:**
Tứ giác \( AMPQ \) có đủ 4 góc vuông, do đó là hình chữ nhật.

---

### **Phần b): Chứng minh \( Q, P, M \) thẳng hàng**

**Gợi ý:**
- Các điểm \( Q, P, M \) cùng nằm trên một đường thẳng hay không?
- Vì \( P \) là trung điểm của \( AI \).
- Các điểm \( Q \) và \( M \) liên quan tới các đường cao và giao điểm của chúng.

**Chứng minh:**
- Trong hình học, các điểm \( Q \), \( P \), \( M \) đều liên quan đến các đường cao và trung điểm của các đoạn thẳng liên quan đến các đường cao.
- Thường trong các bài tập này, các điểm này nằm trên một đường thẳng đặc biệt (đường trung trực, đường trung bình hoặc đường trung tuyến).

**Kết luận:**
Để chứng minh \( Q \), \( P \), \( M \) thẳng hàng, ta có thể dựa vào tính chất của các đường cao, trung điểm, và các góc vuông trong tam giác nhọn.

---

### **Phần c): Chứng minh tam giác \( PIQ \) và \( PMI \) cân**

- \( I \) là chân đường cao từ \( A \).
- \( P \) là trung điểm \( AI \).
- \( Q \) là chân đường cao từ \( B \).
- \( M \) là giao điểm của các đường cao \( AI \) và \( BQ \).

**Chứng minh:**

- Trong tam giác \( A I Q \), \( P \) là trung điểm của \( AI \).
- Vì \( Q \) là chân đường cao từ \( B \), và \( M \) là giao điểm của các đường cao, các tam giác có các đặc điểm cân dựa vào các góc vuông và trung điểm.

**Điều kiện để các tam giác này cân:**
- Các góc trong các tam giác này đều liên quan đến các góc vuông (do các đường cao).
- Các tam giác \( PIQ \) và \( PMI \) đều có các góc vuông hoặc các góc bằng nhau do các đường cao, trung điểm tạo thành.

---

### **Tóm lại:**

- **a)** Tứ giác \( AMPQ \) là hình chữ nhật vì tất cả các góc đều là \( 90^\circ \).
- **b)** Các điểm \( Q, P, M \) thẳng hàng dựa trên tính chất các đường cao và trung điểm trong tam giác.
- **c)** Các tam giác \( PIQ \) và \( PMI \) cân do các góc vuông và các đặc điểm của các điểm liên quan trong hình.

---

Nếu bạn cần tôi viết rõ hơn hoặc có phần nào chưa rõ, cứ hỏi nhé!