a) Tứ giác AMCN là hình gì? Vì sao?
Vì III là trung điểm ACACAC và NNN đối xứng MMM qua III, nên:
IN⃗=IM⃗  ⟹  N na˘ˋm treˆn tia tieˆˊp MN theo hướng M→I.\vec{IN} = \vec{IM} \implies N\text{ nằm trên tia tiếp MN theo hướng }M\to I.IN=IM⟹N na˘ˋm treˆn tia tieˆˊp MN theo hướng M→I.Xét tứ giác AMCNAMCNAMCN:

Hai đường chéo ACACAC và MNMNMN cắt nhau tại trung điểm I.
Do MMM và NNN đối xứng qua III, nên III là trung điểm của MNMNMN.
Trong tứ giác AMCNAMCNAMCN:

Các đường chéo cắt nhau tại trung điểm → tứ giác có hai đường chéo bằng nhau, cắt nhau tại trung điểm → **tứ giác parallelogram (hình bình hành).
✅ Kết luận:

Tứ giaˊc AMCN laˋ hıˋnh bıˋnh haˋnh vıˋ hai đường cheˊo ca˘ˊt nhau tại trung điểm.\text{Tứ giác } AMCN \text{ là hình bình hành vì hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm.}Tứ giaˊc AMCN laˋ hıˋnh bıˋnh haˋnh vıˋ hai đường cheˊo ca˘ˊt nhau tại trung điểm.
b) Gọi E là trung điểm AM. Chứng minh E là trung điểm BN
EEE trung điểm AMAMAM → AE⃗=EM⃗\vec{AE} = \vec{EM}AE=EM
III trung điểm ACACAC → AI⃗=IC⃗\vec{AI} = \vec{IC}AI=IC
NNN đối xứng MMM qua III → IN⃗=IM⃗\vec{IN} = \vec{IM}IN=IM → BN⃗=BM⃗+MN⃗=BM⃗+2IM⃗\vec{BN} = \vec{BM} + \vec{MN} = \vec{BM} + 2\vec{IM}BN=BM+MN=BM+2IM
Qua phép toán vectơ: E cũng là trung điểm BN.
Cách đơn giản hơn:

Tứ giác AMCN là hình bình hành → EEE trung điểm của AM → EEE cũng là trung điểm của BN (tính chất hình bình hành: đường nối trung điểm cạnh này bằng đường nối trung điểm cạnh đối diện).
✅ Kết luận:

E laˋ trung điểm BNE \text{ là trung điểm } BNE laˋ trung điểm BN
c) Gọi K là trung điểm AB. Tìm điều kiện để tứ giác AKMI là hình vuông
K trung điểm AB, M trung điểm BC, I trung điểm AC, A là đỉnh.
Tứ giác AKMI: các đỉnh theo thứ tự A–K–M–I
Điều kiện để AKMI là hình vuông:

AKMI phải là hình bình hành:

Hai cặp cạnh đối song song: cần tam giác cân tại A → đúng.
Một hình vuông là hình bình hành có góc vuông.

Dùng vectơ:

AK⃗⋅AM⃗=0\vec{AK} \cdot \vec{AM} = 0AK⋅AM=0 (vuông góc)
Gọi tam giác cân tại A: AB = AC.
K trung điểm AB → AK⃗=12AB⃗\vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{AB}AK=21​AB, I trung điểm AC → AI⃗=12AC⃗\vec{AI} = \frac{1}{2}\vec{AC}AI=21​AC
Vuông góc AK ⊥ AI → AB⃗⋅AC⃗=0\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0AB⋅AC=0
✅ Điều kiện:

Tam giaˊc ABC caˆn tại A vaˋ vuoˆng tại A.\text{Tam giác ABC cân tại A và vuông tại A.}Tam giaˊc ABC caˆn tại A vaˋ vuoˆng tại A.