Chọn hệ trục tọa độ
Đặt D(0,0)D(0,0)D(0,0), C(b,0)C(b,0)C(b,0).
Vì AB∥CDAB \parallel CDAB∥CD và AB = a, giả sử A(xA,h)A(x_A, h)A(xA​,h), B(xB,h)B(x_B, h)B(xB​,h) sao cho B−A=aB - A = aB−A=a → xB−xA=ax_B - x_A = axB​−xA​=a.
hhh là chiều cao hình thang.

Bước 2: Tọa độ các trung điểm
MMM là trung điểm ADADAD:
M=(0+xA2,0+h2)=(xA2,h2)M = \left(\frac{0 + x_A}{2}, \frac{0 + h}{2}\right) = \left(\frac{x_A}{2}, \frac{h}{2}\right)M=(20+xA​​,20+h​)=(2xA​​,2h​)III là trung điểm ACACAC:
I=(xA+b2,h+02)=(xA+b2,h2)I = \left(\frac{x_A + b}{2}, \frac{h + 0}{2}\right) = \left(\frac{x_A + b}{2}, \frac{h}{2}\right)I=(2xA​+b​,2h+0​)=(2xA​+b​,2h​)NNN là trung điểm BCBCBC:
N=(xB+b2,h+02)=(xA+a+b2,h2)N = \left(\frac{x_B + b}{2}, \frac{h + 0}{2}\right) = \left(\frac{x_A + a + b}{2}, \frac{h}{2}\right)N=(2xB​+b​,2h+0​)=(2xA​+a+b​,2h​)
Bước 3: Chứng minh M, I, N thẳng hàng
Tất cả các điểm M,I,NM, I, NM,I,N đều có tọa độ y bằng h/2h/2h/2.
→ Chúng nằm trên một đường thẳng song song với đáy.
✅ Kết luận: M, I, N thẳng hàng.

Bước 4: Tính độ dài MN
MN=Nx−Mx=xA+a+b2−xA2=a+b2MN = N_x - M_x = \frac{x_A + a + b}{2} - \frac{x_A}{2} = \frac{a + b}{2}MN=Nx​−Mx​=2xA​+a+b​−2xA​​=2a+b​
Kết quả
a) Ba điểm M, I, N thẳng hàng.
b) Độ dài MN:
MN=a+b2\boxed{MN = \frac{a+b}{2}}MN=2a+b​​

Dưới đây là lời giải chi tiết của bài tập:

---

**Bài 18.** Cho hình thang \(ABCD\) có \(AB \parallel CD\), \(AB = a\), \(CD = b\). Gọi \(M, I, N\) lần lượt là trung điểm của các đoạn \(AD, AC, BC\).

---

### a) Chứng minh ba điểm \(M, I, N\) thẳng hàng

**Phân tích đề:**
- \(M\) là trung điểm của \(AD\)
- \(I\) là trung điểm của \(AC\)
- \(N\) là trung điểm của \(BC\)

**Cách chứng:**
- Trước tiên, ta có thể sử dụng vector hoặc phép tính tọa độ để chứng minh ba điểm thẳng hàng.

**Giả sử đặt hệ trục tọa độ:**
- Đặt \(A\) tại \( (0,0) \)
- Đặt \(B\) tại \( (a,0) \) (vì \(AB\) nằm trên trục hoành)
- Do \(AB \parallel CD\), ta có thể đặt \(D\) tại \( (x_D, y_D) \) và \(C\) tại \( (x_C, y_C) \) sao cho \(CD\) song song với \(AB\).

Vì đề bài không yêu cầu cụ thể về vị trí các đỉnh, ta có thể chọn:

- \( D = (d, h) \)
- \( C = (d + b, h) \), với \(b\) là độ dài của \(CD\)

Vậy:
- \(A = (0,0)\)
- \(B = (a,0)\)
- \(D = (d, h)\)
- \(C = (d + b, h)\)

**Tính tọa độ các trung điểm:**

- \(M\) là trung điểm của \(AD\):
\[
M = \left( \frac{0 + d}{2}, \frac{0 + h}{2} \right) = \left( \frac{d}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]
- \(I\) là trung điểm của \(AC\):
\[
I = \left( \frac{0 + d + b}{2}, \frac{0 + h}{2} \right) = \left( \frac{d + b}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]
- \(N\) là trung điểm của \(BC\):
\[
N = \left( \frac{a + d + b}{2}, \frac{0 + h}{2} \right) = \left( \frac{a + d + b}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]

**Xác định xem \(M, I, N\) thẳng hàng:**

- Các điểm đều có cùng hoành độ của \(y = \frac{h}{2}\), tức là tất cả nằm trên một đường thẳng ngang.

- Kiểm tra toạ độ:
\[
M = \left( \frac{d}{2}, \frac{h}{2} \right), \quad I = \left( \frac{d + b}{2}, \frac{h}{2} \right), \quad N = \left( \frac{a + d + b}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]
- Vì tất cả có cùng hoành độ \( y = \frac{h}{2} \), nên **ba điểm \(M, I, N\) thẳng hàng**.

**=>** **Chứng minh xong.**

---

### b) Tính độ dài đoạn thẳng \(MN\) theo \(a\) và \(b\)

Từ phần trên, ta có:

\[
M = \left( \frac{d}{2}, \frac{h}{2} \right), \quad N = \left( \frac{a + d + b}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]

Vì cùng cùng y, độ dài đoạn \(MN\) là hiệu về hoành độ:

\[
MN = \left| \frac{a + d + b}{2} - \frac{d}{2} \right| = \left| \frac{a + d + b - d}{2} \right| = \frac{|a + b|}{2}
\]

Vì \(a, b > 0\), ta có:

\[
MN = \frac{a + b}{2}
\]

---

### **Kết luận:**

- **a)** Ba điểm \(M, I, N\) thẳng hàng vì cùng nằm trên một đường thẳng ngang.
- **b)** Độ dài đoạn thẳng \(MN = \frac{a + b}{2}\).

---

Nếu cần giải thích rõ hơn hoặc hình vẽ, tôi có thể giúp tạo hình minh họa!