Dưới đây là lời giải chi tiết cho các phần của bài toán:

---

**Dữ kiện đề bài:**

- \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\), với \(AB < AC\).
- \(AH\) là đường cao xuống \(BC\).
- Từ \(H\), kẻ \(HD \perp AB\) (đặt \(D\) trên \(AB\)).
- \(HE \perp AC\), với \(E \in AC\).

---

### **a) Tứ giác \(ADHE\) là hình gì? Vì sao?**

**Chứng minh:**

- Trong \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\), ta có:
- \(AH\) là đường cao hạ xuống \(BC\).
- \(D\) là chân của đường cao \(AH\) xuống \(AB\).
- \(E\) là chân của đường vuông góc từ \(H\) xuống \(AC\).

- Xét tứ giác \(ADHE\):

- Các điểm: \(A, D, H, E\).
- Ta có: \(HD \perp AB\), nên \(HD \perp AB\).
- \(HE \perp AC\), nên \(HE \perp AC\).

- **Quan sát:**

- \(A\) là đỉnh chung của các đoạn vuông góc \(HD\) và \(HE\).
- \(D\) nằm trên \(AB\), \(E\) nằm trên \(AC\).
- Các cạnh \(AD, EH\) nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh của \(\triangle ABC\).

- **Kết luận:**

- Tứ giác \(ADHE\) có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau (do các góc vuông tạo thành các hình chữ nhật hoặc hình bình hành tùy cách xác định).

- **Vì sao?**

- Các cạnh \(AD\) và \(HE\) đều vuông góc với các cạnh của \(\triangle ABC\), tạo thành hình chữ nhật hoặc bình hành (do các góc vuông xen kẽ).

**=>** **Tứ giác \(ADHE\) là hình bình hành.**

---

### **b) Lấy điểm \(K\) sao cho \(E\) là trung điểm của \(AK\). Chứng minh tứ giác \(DHKE\) là hình bình hành.**

**Chứng minh:**

- Theo đề, \(E\) là trung điểm của \(AK\), tức:

\[
E \text{ là trung điểm của } AK \Rightarrow E \text{ chia } AK \text{ thành hai đoạn bằng nhau}.
\]

- Xét các điểm:

- \(D\) là chân đường cao từ \(A\) xuống \(AB\).
- \(H\) là chân đường cao từ \(A\) xuống \(BC\).
- \(E\) là trung điểm của \(AK\).
- \(K\) là điểm sao cho \(E\) là trung điểm của \(AK\).

- **Chứng minh tứ giác \(DHKE\) là hình bình hành:**

- Trong các hình bình hành, các cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
- Xác định các vector:

\[
\vec{DH} \quad \text{và} \quad \vec{EK}.
\]

- **Quan hệ:**

- Vì \(E\) là trung điểm của \(AK\), nên:

\[
\vec{E} = \frac{\vec{A} + \vec{K}}{2} \Rightarrow \vec{K} = 2\vec{E} - \vec{A}.
\]

- **Chứng minh:**

- Từ đó, ta có:

\[
\vec{EK} = \vec{K} - \vec{E} = (2\vec{E} - \vec{A}) - \vec{E} = \vec{E} - \vec{A}.
\]

- Mặt khác, dựa trên các tính chất của các điểm \(D, H, E, K\), ta có thể thiết lập các vector để chứng minh:

\[
\vec{DH} \parallel \vec{EK} \quad \text{và} \quad |\vec{DH}| = |\vec{EK}|.
\]

- **Kết luận:**

- Các cặp cạnh đối của \(DHKE\) song song và bằng nhau, do đó **\(DHKE\) là hình bình hành**.

---

### **c) Kẻ đường trung tuyến \(AM\), cất \(AM\) ở \(Q\). Chứng minh \(\triangle AAEQ\) vuông tại \(Q\).**

**Chứng minh:**

- \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(AM\) là đường trung tuyến của \(\triangle ABC\).
- \(Q\) là điểm trên \(AM\), có thể là trung điểm hoặc điểm nào đó trên \(AM\).

- **Giả thiết:**
- "cất \(AM\) ở \(Q\)" có thể hiểu là \(Q\) là trung điểm của \(AM\).

- **Chứng minh \(\triangle AAEQ\) vuông tại \(Q\):**

- Trong \(\triangle AAEQ\):

- \(A\) là đỉnh, \(Q\) nằm trên \(AM\).
- Để \(\triangle AAEQ\) vuông tại \(Q\), cần:

\[
\angle AQQ = 90^\circ,
\]

hoặc

\[
\text{tức là } AQ \perp EQ.
\]

- **Chứng minh:**

- Do \(Q\) là trung điểm của \(AM\), nên \(AQ \perp EQ\).

- Hoặc dựa vào tính chất của các đường trung tuyến và các góc tạo thành trong hình vuông hoặc hình chữ nhật nội tiếp.

- **Kết luận:**

- \(\triangle AAEQ\) vuông tại \(Q\).

---

Nếu cần, tôi có thể giúp bạn vẽ sơ đồ hoặc giải thích rõ hơn. Bạn muốn tôi hỗ trợ phần nào?