Dưới đây là phân tích và các hướng giải quyết cho từng phần của đề bài:

---

### Đề bài tóm tắt:
- Trong tam giác nhọn \( ABC \), có \( AB < BC \).
- Trung điểm \( M \) của cạnh \( AB \).
- Kẻ đường thẳng song song với \( BC \) qua \( M \), cắt \( AC \) tại \( N \).
- Trên cạnh \( BC \), lấy điểm \( D \) thoả mãn các điều kiện đã cho.

---

### a) \( \text{Tứ giác } BMAD \text{ là hình bình hành} \)

**Phân tích:**
- Để \( BMAD \) là hình bình hành, các cạnh đối của nó phải song song và bằng nhau.
- Trong đó, \( M \) là trung điểm \( AB \).
- \( B \), \( M \), \( A \) đã có rõ.
- Để tạo thành hình bình hành, cần xác định vị trí của \( D \) sao cho \( BM \parallel AD \) và \( BD = AM \).

**Giải pháp khả dĩ:**
- Vì \( M \) là trung điểm \( AB \), nên \( \vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} \).
- Để \( BMAD \) là hình bình hành, ta cần \( \vec{D} = \vec{B} + (\vec{M} - \vec{A}) \).
- Thay \( \vec{M} \), ta có:
\[ \vec{D} = \vec{B} + \left( \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} - \vec{A} \right) = \vec{B} + \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2} = \frac{2\vec{B} + \vec{B} - \vec{A}}{2} = \frac{3\vec{B} - \vec{A}}{2} \]

**Kết luận:**
- Điểm \( D \) nằm trên đường thẳng qua \( B \) theo phương của \( \vec{D} \), xác định rõ dựa trên tọa độ \( A, B \).
- Vậy, điểm \( D \) được xác định như trên để \( BMAD \) là hình bình hành.

---

### b) \( \triangle AMN \) cân tại \( A \)

**Phân tích:**
- \( M \) là trung điểm \( AB \).
- \( N \) là điểm cắt của đường song song với \( BC \) qua \( M \) với \( AC \).
- Để \( \triangle AMN \) cân tại \( A \), các cạnh \( AN = AN \) (đương nhiên) và \( NM = AN \) hoặc \( AM = AN \) cần thoả mãn.

**Điều kiện:**
- Vì \( N \) nằm trên \( AC \), và \( M \) trung điểm \( AB \).
- Để \( \triangle AMN \) cân tại \( A \), cần \( AN = AM \) hoặc \( AN = AN \), tùy theo cách chọn điểm \( N \).

**Giải pháp:**
- Chọn \( N \) sao cho \( AN = AM \).
- Vì \( M \) là trung điểm \( AB \), \( AM = \frac{AB}{2} \).
- Đường song song với \( BC \) từ \( M \) cắt \( AC \) tại \( N \), sẽ tạo ra một đoạn \( AN \) có độ dài phù hợp.

---

### c) \( \triangle AMN = \triangle HMN \)

**Giải thích:**
- Để hai tam giác này bằng nhau về diện tích hoặc hình dạng, cần điều kiện đặc biệt về các cạnh hoặc góc.
- Có thể giả thiết rằng \( H \) là một điểm nào đó liên quan đến \( A \) hoặc \( M \).
- Do không rõ \( H \) là điểm nào, cần xác định rõ hơn.

**Giả định:**
- Nếu \( H \) là chân của đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), thì việc so sánh hai tam giác này cần xem xét các đặc điểm về góc, độ dài.

---

### d) \( \text{Tứ giác } DHMN \text{ là thang cân} \)

**Phân tích:**
- Để tứ giác \( DHMN \) là thang cân, các cạnh bên phải hoặc trái phải song song và các cạnh còn lại phải thẳng hàng phù hợp.
- Các điểm \( D, H, M, N \) phải được xác định rõ hơn.

---

### **Tổng kết:**
- Các điều kiện này đều dựa trên vị trí, đặc điểm của các điểm và tính chất hình học của tam giác.
- Để giải chính xác, cần biết rõ hơn về vị trí điểm \( H \), các mối quan hệ về các điểm \( D, N, M \), và hình dạng cụ thể của tam giác.

---

Nếu bạn cần, tôi có thể giúp bạn dựng hình hoặc tính toán cụ thể hơn dựa trên các giả thiết rõ ràng hơn!