Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (y = \frac{x+1}{x-3}).

1. Tập xác định: Hàm số xác định khi mẫu số khác 0, tức là (x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3). Vậy tập xác định của hàm số là (D = \mathbb{R} \setminus {3}), hay (D = (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)).

2. Sự biến thiên:

Giới hạn và tiệm cận:

Giới hạn tại vô cực: [ \lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{x-3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + 1/x}{1 - 3/x} = \frac{1+0}{1-0} = 1 ] [ \lim_{x \to -\infty} \frac{x+1}{x-3} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 + 1/x}{1 - 3/x} = \frac{1+0}{1-0} = 1 ] Do đó, đường thẳng (y=1) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Giới hạn tại điểm không xác định của mẫu số: [ \lim_{x \to 3^+} \frac{x+1}{x-3} = \frac{4}{0^+} = +\infty ] [ \lim_{x \to 3^-} \frac{x+1}{x-3} = \frac{4}{0^-} = -\infty ] Do đó, đường thẳng (x=3) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Đạo hàm: Ta có (y' = \frac{(x+1)'(x-3) - (x+1)(x-3)'}{(x-3)^2} = \frac{1(x-3) - (x+1)(1)}{(x-3)^2} = \frac{x-3-x-1}{(x-3)^2} = \frac{-4}{(x-3)^2}).
Xét dấu đạo hàm: Vì ((x-3)^2 > 0) với mọi (x \neq 3) và (-4 < 0), nên (y' < 0) với mọi (x \in D).
Sự đồng biến, nghịch biến: Hàm số nghịch biến trên các khoảng ((-\infty, 3)) và ((3, +\infty)).
Bảng biến thiên:

(x)
(-\infty)
(3)
(+\infty)
(y')
(-4/(x-3)^2)
(-4/(x-3)^2)
(-4/(x-3)^2)
(y')
(-))
(-)
(-)
(y)
(1) (\searrow)
(-\infty)
(+\infty) (1)
(y)
(+\infty)


3. Đồ thị:

Giao điểm với các trục tọa độ:

Giao điểm với trục Oy: Đặt (x=0), ta có (y = \frac{0+1}{0-3} = -\frac{1}{3}). Đồ thị cắt trục Oy tại điểm ((0, -1/3)).
Giao điểm với trục Ox: Đặt (y=0), ta có (\frac{x+1}{x-3} = 0 \Rightarrow x+1=0 \Rightarrow x=-1). Đồ thị cắt trục Ox tại điểm ((-1, 0)).
Vẽ đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên và các điểm đặc biệt đã tìm được, ta vẽ đồ thị hàm số. Đồ thị là một hypebol với tiệm cận ngang (y=1) và tiệm cận đứng (x=3). Đồ thị đi qua các điểm ((-1, 0)) và ((0, -1/3)).

Đồ thị bao gồm hai nhánh:

Nhánh thứ nhất nằm trong khoảng (x < 3): đi từ tiệm cận ngang (y=1) tại (-\infty), đi xuống qua các điểm ((-1, 0)) và ((0, -1/3)) và tiến đến tiệm cận đứng (x=3) từ bên trái với (y \to -\infty).
Nhánh thứ hai nằm trong khoảng (x > 3): đi từ tiệm cận đứng (x=3) từ bên phải với (y \to +\infty), đi xuống và tiến về tiệm cận ngang (y=1) khi (x \to +\infty).
...