a) Thể tích khối tứ diện EMNP  
Các vectơ EM⃗modifying-above cap E cap M with right arrow
??⃗
, EN⃗modifying-above cap E cap N with right arrow
??⃗
, EP⃗modifying-above cap E cap P with right arrow
??⃗
được tính toán.
EM⃗=M−E=(2−1;4−2;1−(-3))=(1;2;4)modifying-above cap E cap M with right arrow equals cap M minus cap E equals open paren 2 minus 1 ; 4 minus 2 ; 1 minus open paren negative 3 close paren close paren equals open paren 1 ; 2 ; 4 close paren
??⃗=?−?=(2−1;4−2;1−(−3))=(1;2;4)
.
EN⃗=N−E=(-5−1;-2−2;3−(-3))=(-6;-4;6)modifying-above cap E cap N with right arrow equals cap N minus cap E equals open paren negative 5 minus 1 ; negative 2 minus 2 ; 3 minus open paren negative 3 close paren close paren equals open paren negative 6 ; negative 4 ; 6 close paren
??⃗=?−?=(−5−1;−2−2;3−(−3))=(−6;−4;6)
.
EP⃗=P−E=(0−1;1−2;2−(-3))=(-1;-1;5)modifying-above cap E cap P with right arrow equals cap P minus cap E equals open paren 0 minus 1 ; 1 minus 2 ; 2 minus open paren negative 3 close paren close paren equals open paren negative 1 ; negative 1 ; 5 close paren
??⃗=?−?=(0−1;1−2;2−(−3))=(−1;−1;5)
.
Tích có hướng của EM⃗modifying-above cap E cap M with right arrow
??⃗
và EN⃗modifying-above cap E cap N with right arrow
??⃗
được tính toán.
EM⃗×EN⃗=((2)(6)−(4)(-4);(4)(-6)−(1)(6);(1)(-4)−(2)(-6))=(12+16;-24−6;-4+12)=(28;-30;8)modifying-above cap E cap M with right arrow cross modifying-above cap E cap N with right arrow equals open paren open paren 2 close paren open paren 6 close paren minus open paren 4 close paren open paren negative 4 close paren ; open paren 4 close paren open paren negative 6 close paren minus open paren 1 close paren open paren 6 close paren ; open paren 1 close paren open paren negative 4 close paren minus open paren 2 close paren open paren negative 6 close paren close paren equals open paren 12 plus 16 ; negative 24 minus 6 ; negative 4 plus 12 close paren equals open paren 28 ; negative 30 ; 8 close paren
??⃗×??⃗=((2)(6)−(4)(−4);(4)(−6)−(1)(6);(1)(−4)−(2)(−6))=(12+16;−24−6;−4+12)=(28;−30;8)
.
Thể tích khối tứ diện Vcap V
?
được tính bằng công thức V=16|(EM⃗×EN⃗)⋅EP⃗|cap V equals 1 over 6 end-fraction the absolute value of open paren modifying-above cap E cap M with right arrow cross modifying-above cap E cap N with right arrow close paren center dot modifying-above cap E cap P with right arrow end-absolute-value
?=16|(??⃗×??⃗)⋅??⃗|
.
V=16|(28)(-1)+(-30)(-1)+(8)(5)|=16|−28+30+40|=16|42|=426=7cap V equals 1 over 6 end-fraction the absolute value of open paren 28 close paren open paren negative 1 close paren plus open paren negative 30 close paren open paren negative 1 close paren plus open paren 8 close paren open paren 5 close paren end-absolute-value equals 1 over 6 end-fraction the absolute value of minus 28 plus 30 plus 40 end-absolute-value equals 1 over 6 end-fraction the absolute value of 42 end-absolute-value equals 42 over 6 end-fraction equals 7
?=16|(28)(−1)+(−30)(−1)+(8)(5)|=16|−28+30+40|=16|42|=426=7
.
Mệnh đề "Thể tích khối tứ diện EMNP=7" là đúng.  
 
b) Mặt phẳng (EMP) có một vecto pháp tuyến là u=(14;9;1)  
Các vectơ EM⃗modifying-above cap E cap M with right arrow
??⃗
và EP⃗modifying-above cap E cap P with right arrow
??⃗
được xác định.
EM⃗=(1;2;4)modifying-above cap E cap M with right arrow equals open paren 1 ; 2 ; 4 close paren
??⃗=(1;2;4)
.
EP⃗=(-1;-1;5)modifying-above cap E cap P with right arrow equals open paren negative 1 ; negative 1 ; 5 close paren
??⃗=(−1;−1;5)
.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (EMP) được tính bằng tích có hướng của EM⃗modifying-above cap E cap M with right arrow
??⃗
và EP⃗modifying-above cap E cap P with right arrow
??⃗
.
n⃗EMP=EM⃗×EP⃗=((2)(5)−(4)(-1);(4)(-1)−(1)(5);(1)(-1)−(2)(-1))=(10+4;-4−5;-1+2)=(14;-9;1)modifying-above n with right arrow sub cap E cap M cap P end-sub equals modifying-above cap E cap M with right arrow cross modifying-above cap E cap P with right arrow equals open paren open paren 2 close paren open paren 5 close paren minus open paren 4 close paren open paren negative 1 close paren ; open paren 4 close paren open paren negative 1 close paren minus open paren 1 close paren open paren 5 close paren ; open paren 1 close paren open paren negative 1 close paren minus open paren 2 close paren open paren negative 1 close paren close paren equals open paren 10 plus 4 ; negative 4 minus 5 ; negative 1 plus 2 close paren equals open paren 14 ; negative 9 ; 1 close paren
?⃗???=??⃗×??⃗=((2)(5)−(4)(−1);(4)(−1)−(1)(5);(1)(−1)−(2)(−1))=(10+4;−4−5;−1+2)=(14;−9;1)
.
Mệnh đề "Mặt phẳng (EMP) có một vecto pháp tuyến là u=(14;9;1)" là sai vì vectơ pháp tuyến tính được là (14;-9;1)open paren 14 ; negative 9 ; 1 close paren
(14;−9;1)
, không phải (14;9;1)open paren 14 ; 9 ; 1 close paren
(14;9;1)
.  
 
 
c) Mặt phẳng song song với hai đường thẳng MN,EP nhận n=(28;-33;-1) làm vecto pháp tuyến  
Các vectơ chỉ phương của đường thẳng MN và EP được xác định.
MN⃗=N−M=(-5−2;-2−4;3−1)=(-7;-6;2)modifying-above cap M cap N with right arrow equals cap N minus cap M equals open paren negative 5 minus 2 ; negative 2 minus 4 ; 3 minus 1 close paren equals open paren negative 7 ; negative 6 ; 2 close paren
??⃗=?−?=(−5−2;−2−4;3−1)=(−7;−6;2)
.
EP⃗=P−E=(-1;-1;5)modifying-above cap E cap P with right arrow equals cap P minus cap E equals open paren negative 1 ; negative 1 ; 5 close paren
??⃗=?−?=(−1;−1;5)
.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng song song với MN và EP được tính bằng tích có hướng của MN⃗modifying-above cap M cap N with right arrow
??⃗
và EP⃗modifying-above cap E cap P with right arrow
??⃗
.
n⃗=MN⃗×EP⃗=((-6)(5)−(2)(-1);(2)(-1)−(-7)(5);(-7)(-1)−(-6)(-1))=(-30+2;-2+35;7−6)=(-28;33;1)modifying-above n with right arrow equals modifying-above cap M cap N with right arrow cross modifying-above cap E cap P with right arrow equals open paren open paren negative 6 close paren open paren 5 close paren minus open paren 2 close paren open paren negative 1 close paren ; open paren 2 close paren open paren negative 1 close paren minus open paren negative 7 close paren open paren 5 close paren ; open paren negative 7 close paren open paren negative 1 close paren minus open paren negative 6 close paren open paren negative 1 close paren close paren equals open paren negative 30 plus 2 ; negative 2 plus 35 ; 7 minus 6 close paren equals open paren negative 28 ; 33 ; 1 close paren
?⃗=??⃗×??⃗=((−6)(5)−(2)(−1);(2)(−1)−(−7)(5);(−7)(−1)−(−6)(−1))=(−30+2;−2+35;7−6)=(−28;33;1)
.
Vectơ pháp tuyến n⃗modifying-above n with right arrow
?⃗
có thể là (-28;33;1)open paren negative 28 ; 33 ; 1 close paren
(−28;33;1)
hoặc (28;-33;-1)open paren 28 ; negative 33 ; negative 1 close paren
(28;−33;−1)
.
 
Mệnh đề "Mặt phẳng song song với hai đường thẳng MN,EP nhận n=(28;-33;-1) làm vecto pháp tuyến" là đúng.  
 
 
d) Mặt phẳng (P) :mx+ny-6z-7=0 song song với (Q) thì m+n=6  
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n⃗P=(m;n;-6)modifying-above n with right arrow sub cap P equals open paren m ; n ; negative 6 close paren
?⃗?=(?;?;−6)
.
 
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là n⃗Q=(1;2;-3)modifying-above n with right arrow sub cap Q equals open paren 1 ; 2 ; negative 3 close paren
?⃗?=(1;2;−3)
.
 
Hai mặt phẳng song song khi các vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương, tức là n⃗P=kn⃗Qmodifying-above n with right arrow sub cap P equals k modifying-above n with right arrow sub cap Q
?⃗?=??⃗?
với kk
?
là một hằng số.
(m;n;-6)=k(1;2;-3)open paren m ; n ; negative 6 close paren equals k open paren 1 ; 2 ; negative 3 close paren
(?;?;−6)=?(1;2;−3)
.
Từ đó, các phương trình sau được thiết lập:
m=km equals k
?=?
.
n=2kn equals 2 k
?=2?
.
-6=-3k⟹k=2negative 6 equals negative 3 k ⟹ k equals 2
−6=−3?⟹?=2
.
Thay k=2k equals 2
?=2
vào các phương trình trên:
m=2m equals 2
?=2
.
n=2(2)=4n equals 2 open paren 2 close paren equals 4
?=2(2)=4
.
Tổng m+nm plus n
?+?
được tính toán.
m+n=2+4=6m plus n equals 2 plus 4 equals 6
?+?=2+4=6
.
Mệnh đề "Mặt phẳng (P) :mx+ny-6z-7=0 song song với (Q) thì m+n=6" là đúng.  
 
 
Kết luận  
Các mệnh đề đúng là a), c), d).