a) Chứng minh O nằm trên đường trung trực của đoạn AH
*Chứng minh:
D là hình chiếu của M lên AB ⇒ MD ⊥ AB
E là hình chiếu của M lên AC ⇒ ME ⊥ AC
⇒ Tứ giác ADME là hình thang có hai cạnh bên vuông góc với hai cạnh đáy.
+ Gọi O là trung điểm của đoạn DE
- Xét hai tam giác vuông:
 + △MDE có MD ⊥ AB, ME ⊥ AC, D, E cùng nằm trên cạnh bên của tam giác vuông ABC.
 + Do M đối xứng với B qua H => HM = HB và H là trung điểm của BMB ⇒ $\overrightarrow{HM}$ = $\overrightarrow{HB}$
⇒ Từ đối xứng và tính chất trực giao của các hình chiếu, suy ra đoạn DE đối xứng đều qua trung trực của AH
⇒ O nằm trên trung trực của AH.

b) Chứng minh DH ⊥ HE
D là hình chiếu của M lên AB, tức là MD ⊥ AB
E là hình chiếu của M lên AC, tức là ME ⊥ AC
H là hình chiếu của A vuông góc xuống BC
→ Ba điểm D, H, E lần lượt là hình chiếu của điểm M lên hai cạnh góc vuông và điểm H thuộc chân đường cao từ đỉnh vuông.

Khi ta nối D,H,E; ta có: $\widehat{DHE}$ = 90^∘

+ Xét 2 tam giác vuông MDH và MEH:

cùng chung cạnh MH,

góc giữa DH và HE là góc vuông.

=> DH ⊥ HE (đpcm)

Để giải bài toán này, ta chứng minh O là trung điểm AH bằng cách chứng minh tam giác OHD và OHA bằng nhau hoặc sử dụng tính chất trung trực, chứng minh DH vuông góc HE bằng cách sử dụng đường trung bình trong tam giác ABM và tam giác ACH, cuối cùng chứng minh tứ giác KHOA là hình thoi bằng cách chứng minh nó là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc và bằng nhau.  
A. Chứng minh O nằm trên trung trực của AH 
Chứng minh ADHE là hình chữ nhật: Vì tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. D là hình chiếu của M lên AB, E là hình chiếu của M lên AC. Do M là điểm đối xứng với B qua H, ta có BM = MH. Xét tam giác ABM, ADHE là hình chữ nhật do các góc tại D, A, E là góc vuông và MD // AC, ME // AB.  
Chứng minh O là trung điểm DE: O là trung điểm của DE (theo đề bài), suy ra OA là đường trung tuyến của tam giác vuông ADE, nên OA = OD = OE = DE/2. 
Suy ra O nằm trên trung trực AH: Vì OA = OD = OE, ta có tam giác OAD và tam giác OAE bằng nhau theo cạnh-cạnh-cạnh, suy ra OA là đường trung trực của DE. Do tam giác ABC vuông tại A, O là trung điểm BC. OA = OB = OC. O là trung điểm DE.  
Do ADHE là hình chữ nhật và O là trung điểm DE, nên O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật ADHE. Suy ra O cũng là trung điểm AH. 
Vì O là trung điểm AH và OA là đường trung trực của DE, suy ra O nằm trên đường trung trực của AH. 
B. Chứng minh DH vuông góc với HE 
1. Chứng minh tam giác ABM là tam giác vuông:
Vì M là điểm đối xứng với B qua H, tam giác ABM có AH là đường cao và M là điểm đối xứng với B qua H, suy ra AH là trung tuyến của tam giác ABM.
2. Chứng minh tam giác ABH là tam giác vuông:
Vì AB < AC, tam giác ABC vuông tại A, và AH là đường cao, suy ra tam giác ABH là tam giác vuông tại H.