Phần A: Chứng minh BE=DF và △ABE=△CDF

Chứng minh BE=DF:

Vì ABCD là hình bình hành nên AD=BC và AD∥BC.
E là trung điểm của AD và F là trung điểm của BC, suy ra AE=21​AD và BF=21​BC.
Vì AD=BC nên AE=BF.
Tứ giác ABFD có AE=BF và AE∥BF, do đó ABFD là hình bình hành. Từ đó suy ra AB=DF.
Tương tự, ta có AE=CF và AE∥CF nên AECF là hình bình hành, suy ra AC=EF.
Vì ABCD là hình bình hành nên AB=CD.
Ta đã chứng minh được AB=DF, do đó DF=CD.
Xét tứ giác EBCF có EB=FC và EB∥FC, do đó EBCF là hình bình hành, suy ra BE=CF.
Xét tứ giác CDFE có CD=FE và CD∥FE, do đó CDFE là hình bình hành. Từ đó suy ra DF=CE.
Xét tứ giác ABFD có AB=DF và AB∥DF, do đó ABFD là hình bình hành. Từ đó suy ra BF=AD.
Xét tứ giác EBCF có EB=FC và EB∥FC, do đó EBCF là hình bình hành. Từ đó suy ra BE=CF.
Vì ABCD là hình bình hành nên AD=BC và AD∥BC.
Vì E là trung điểm AD và F là trung điểm BC nên AE=ED=21​AD và BF=FC=21​BC.
Do AD=BC nên ED=FC.
Xét hai tam giác △EDB và △FBC:

ED=FC (đã chứng minh ở trên).
∠D=∠C (hai góc kề bù).
DB và BC là hai cạnh kề của hình bình hành ABCD.
Do đó △EDB không bằng △FBC.
Ta sẽ chứng minh lại như sau:

ABCD là hình bình hành ⇒AD=BC,AB=CD,AD∥BC.
E, F là trung điểm AD, BC ⇒AE=ED=BF=FC.
Xét △ABE và △CDF:

AB=CD (cạnh đối hình bình hành).
AE=CF (chứng minh trên).
∠A=∠C (góc đối hình bình hành).
Vậy △ABE=△CDF (c.g.c).
⇒BE=DF (hai cạnh tương ứng).
Chứng minh △ABE=△CDF:

Xét △ABE và △CDF, ta có:

AB=CD (cạnh đối của hình bình hành ABCD).
AE=CF (vì AD=BC và E, F là trung điểm của AD, BC).
∠DAB=∠BCD (góc đối của hình bình hành ABCD).

Phần B: Chứng minh tứ giác EBFD là hình bình hành

Ta có ED=BF (vì E, F là trung điểm của hai cạnh bằng nhau AD và BC).
Và ED∥BF (vì AD song song với BC).
Một tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
Do đó, tứ giác EBFD là hình bình hành.

Phần C: Chứng minh các đường thẳng EF, DB và AC đồng quy

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và DB của hình bình hành ABCD.
Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do đó O là trung điểm của AC và DB.
Xét hình bình hành EBFD (đã chứng minh ở phần B), hai đường chéo của nó là EF và DB.
Hai đường chéo của hình bình hành EBFD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
O là trung điểm của DB.
Do đó, đường chéo EF của hình bình hành EBFD cũng phải đi qua trung điểm của DB, tức là điểm O.
Vậy, các đường thẳng EF, DB và AC cùng đi qua một điểm O.
Do đó, các đường thẳng EF, DB và AC đồng quy tại điểm O.
Để dùng được toàn bộ chức năng của tất cả các ứng dụng, hãy bật chế độ Hoạt động trên Các ứng dụng Gemini.