a) Chứng minh BDEC là hình thang cân 

Để chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân, ta cần chứng minh nó là một hình thang và có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Chứng minh DE // BC:

Vì △ABC cân tại A nên ∠ABC=∠ACB.
BE và CD là hai đường phân giác của ∠ABC và ∠ACB, do đó: ∠EBC=21​∠ABC và ∠DCB=21​∠ACB
Vì ∠ABC=∠ACB nên ∠EBC=∠DCB.
Xét △EBC và △DCB:

∠EBC=∠DCB (chứng minh trên)
BC là cạnh chung.
∠ACB=∠ABC (do △ABC cân tại A).
Do đó, △EBC=△DCB (g.c.g).
Suy ra EC=DB.
Vì △ABC cân tại A nên AB=AC.
Ta có AE=AB−EB và AD=AC−DC.
Do △EBC=△DCB nên EB=DC. Suy ra AE=AD.
Vậy △ADE là tam giác cân tại A.
Trong △ADE cân tại A, ∠ADE=2180∘−∠A​.
Trong △ABC cân tại A, ∠ABC=2180∘−∠A​.
Do đó, ∠ADE=∠ABC.
Hai góc này ở vị trí đồng vị, suy ra DE // BC.
Vậy, tứ giác BDEC là hình thang.
Chứng minh hai góc kề đáy bằng nhau:

Hình thang BDEC có hai đáy là DE và BC.
Hai góc kề đáy BC là ∠DBC và ∠ECB.
Theo giả thiết, △ABC cân tại A nên ∠ABC=∠ACB.
Tương ứng trong hình thang, ∠DBC chính là ∠ABC và ∠ECB chính là ∠ACB.
Vì ∠ABC=∠ACB, hình thang BDEC có hai góc kề đáy BC bằng nhau.
Vậy, BDEC là hình thang cân.

b) Chứng minh DE = DB

Để chứng minh DE=DB, ta cần chứng minh tam giác △EDB là tam giác cân tại E. Điều này sẽ xảy ra nếu ∠EBD=∠EDB.

Sử dụng tính chất của đường phân giác và đường song song:

Ta có BE là đường phân giác của ∠ABC, nên ∠EBD=∠EBC.
Theo kết quả từ câu a), ta có DE // BC.
Khi có hai đường thẳng song song (DE và BC) bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba (BD), các cặp góc so le trong sẽ bằng nhau.
Do đó, ∠EDB=∠DBC.
∠DBC chính là ∠EBC vì chúng là cùng một góc.
Kết hợp các mối quan hệ về góc:

Từ bước 1, ta có:

∠EBD=∠EBC (BE là phân giác)
∠EDB=∠EBC (so le trong)
Từ hai điều trên, suy ra ∠EBD=∠EDB.
Kết luận:

Trong △EDB, ta có hai góc đáy bằng nhau, do đó △EDB là tam giác cân tại E.
Theo định nghĩa của tam giác cân, hai cạnh bên bằng nhau, suy ra DE = DB (đáy nhỏ DE, cạnh bên DB).

 Đề bài tóm tắt:
Tam giác ABC cân tại A → tức là ( AB = AC )
BE là phân giác của góc ( B )
DC là phân giác của góc ( C )
Gọi ( E ) là điểm nằm trên cạnh ( AC ), ( D ) là điểm nằm trên cạnh ( AB )
Cần chứng minh:

Tứ giác BDEC là hình thang cân
( DE = DB )

Phần a) Chứng minh BDEC là hình thang cân
 Ý tưởng:
Ta cần chứng minh:

BDEC là hình thang → tức là có 2 cạnh đối song song
Cân → tức là 2 cạnh bên bằng nhau hoặc 2 góc ở đáy bằng nhau
 Phân tích:
Vì tam giác ABC cân tại A → ta có:

( AB = AC )
( \angle B = \angle C )
Vì BE là phân giác của góc B → chia góc B thành hai phần bằng nhau
Tương tự, DC là phân giác của góc C → chia góc C thành hai phần bằng nhau

→ Vậy ta có: [ \angle EBC = \angle DCB ]

Mà hai góc này là góc kề với cạnh BC, nằm trong tứ giác BDEC
→ Suy ra: BE // DC (vì hai góc so le trong bằng nhau)

BDEC là hình thang (vì có BE // DC)

 Để chứng minh cân, ta cần thêm:
( BD = CE ) hoặc
( \angle D = \angle E )
Do tam giác ABC cân tại A → nên:

( AB = AC )
BE và DC là phân giác → chia cạnh đối ứng theo cùng tỷ lệ
→ Suy ra: BD = CE

 BDEC là hình thang cân vì:

Có 2 cạnh đối song song (BE // DC)
Có 2 cạnh bên bằng nhau (BD = CE)

 Phần b) Chứng minh DE = DB
 Ý tưởng:
Ta xét tam giác ABD và tam giác CDE

Vì tam giác ABC cân tại A → ( AB = AC ), ( \angle B = \angle C )

BE là phân giác → chia cạnh AC theo tỷ lệ ( AB/BC )
DC là phân giác → chia cạnh AB theo tỷ lệ ( AC/BC )
→ Do tam giác cân, các phân giác chia cạnh theo cùng tỷ lệ
→ Suy ra: DE = DB

 Kết luận:
Phần
Kết quả
a)
Tứ giác BDEC là hình thang cân vì BE // DC và BD = CE
b)
DE = DB vì phân giác chia cạnh theo tỷ lệ bằng nhau trong tam giác cân

Đề bài:
Cho tam giác ABC cân tại A, tức là ( AB = AC ).
Gọi BE là phân giác góc B, DC là phân giác góc C.
E thuộc cạnh AC, D thuộc cạnh AB.
Chứng minh:

a) Tứ giác BDEC là hình thang cân
b) ( DE = DB )

Phân tích hình học ban đầu:
Vì tam giác ABC cân tại A, ta có:

( AB = AC )
( \angle B = \angle C )
Do đó, hai phân giác BE và DC sẽ có những tính chất đối xứng nhau.

Phần a) Chứng minh BDEC là hình thang cân
Cách tiếp cận khác: dùng góc
Ta xét các góc trong tứ giác BDEC.

Vì BE là phân giác của góc B, ta có: [ \angle EBC = \frac{1}{2} \angle B ]

Tương tự, vì DC là phân giác của góc C: [ \angle DCB = \frac{1}{2} \angle C ]

Mà tam giác ABC cân tại A nên: [ \angle B = \angle C \Rightarrow \angle EBC = \angle DCB ]

Hai góc này là hai góc kề ở đáy BC của tứ giác BDEC.

Do đó, hai đường thẳng BE và DC tạo với BC hai góc bằng nhau → suy ra: [ BE \parallel DC ]

Vậy tứ giác BDEC có hai cạnh đối song song → là hình thang.

Tiếp theo, ta đã có: [ \angle EBC = \angle DCB ]

→ Hai góc ở đáy bằng nhau → hình thang cân.

Kết luận: BDEC là hình thang cân.

Phần b) Chứng minh DE = DB
Cách tiếp cận khác: dùng định lý phân giác
Áp dụng định lý phân giác trong tam giác:

Trong tam giác ABC, BE là phân giác → theo định lý phân giác: [ \frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} ]
DC là phân giác → ta có: [ \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC} ]
Vì tam giác ABC cân tại A → ( AB = AC ) → hai phân số trên bằng nhau: [ \frac{AE}{EC} = \frac{AD}{DB} ]

Mặt khác, do tam giác cân tại A → ( AE = AD )

Từ đó suy ra: [ \frac{AE}{EC} = \frac{AE}{DB} \Rightarrow EC = DB ]

Mà EC và DE nằm trên cùng đoạn thẳng AC, nên: [ DE = DB ]

Kết luận: ( DE = DB )