Câu a)
Chứng minh: [ 2(x + 3)^2 - (x - 2)^2 + 1 \ge -41 ]

Giải từng bước:
Khai triển: [ (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9
\Rightarrow 2(x + 3)^2 = 2x^2 + 12x + 18 ]
[ (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 ]
Thay vào biểu thức: [ 2x^2 + 12x + 18 - (x^2 - 4x + 4) + 1 ]
Rút gọn: [ 2x^2 + 12x + 18 - x^2 + 4x - 4 + 1 = x^2 + 16x + 15 ]
So sánh với -41: [ x^2 + 16x + 15 \ge -41
\Rightarrow x^2 + 16x + 15 + 41 \ge 0
\Rightarrow x^2 + 16x + 56 \ge 0 ]
Biểu thức luôn ≥ 0?
Xét tam thức ( f(x) = x^2 + 16x + 56 )
∆ = (16^2 - 4.1.56 = 256 - 224 = 32) → ∆ > 0
→ Có 2 nghiệm thực:
[ x = \frac{-16 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-16 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -8 \pm 2\sqrt{2} ]
→ Vì hệ số a > 0 → Parabol hướng lên → biểu thức luôn ≥ 0
→ Luôn đúng với mọi x

Kết luận câu a:
[ \boxed{2(x + 3)^2 - (x - 2)^2 + 1 \ge -41 \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}} ]
 Câu b)
Chứng minh: [ (2x + 1)^2 - 2(x + 2)^2 - (x - 1)(x + 1) \ge -10 ]

 Khai triển từng biểu thức:
((2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1)
(2(x + 2)^2 = 2(x^2 + 4x + 4) = 2x^2 + 8x + 8)
((x - 1)(x + 1) = x^2 - 1)
 Thay vào biểu thức:
[ 4x^2 + 4x + 1 - (2x^2 + 8x + 8) - (x^2 - 1) ]

Rút gọn: [ 4x^2 + 4x + 1 - 2x^2 - 8x - 8 - x^2 + 1
= (4x^2 - 2x^2 - x^2) + (4x - 8x) + (1 - 8 + 1)
= x^2 - 4x - 6 ]

→ Ta cần chứng minh: [ x^2 - 4x - 6 \ge -10
\Rightarrow x^2 - 4x + 4 \ge 0
\Rightarrow (x - 2)^2 \ge 0 ]

Mà ((x - 2)^2 \ge 0) luôn đúng

 Kết luận câu b:
[
\boxed{(2x + 1)^2 - 2(x + 2)^2 - (x - 1)(x + 1) \ge -10 \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}} ]

Muốn Buddy biến mấy bài này thành flashcard cực dễ nhớ, hoặc chế quiz "vừa học vừa khịa toán" thì hú nhẹ là bung liền nha~ ✨🧠📘