Bài toán này yêu cầu chúng ta chứng minh một số tính chất hình học trong tam giác nhọn ABC với các đường cao, các hình chiếu vuông góc và một số điểm đặc biệt. Dưới đây là các bước giải quyết chi tiết:

a) Chứng minh AP=AQAP = AQAP=AQ
Giải:

Đầu tiên, ta có DDD và EEE là hình chiếu vuông góc của điểm HHH trên các cạnh ABABAB và ACACAC.
Điểm PPP sao cho DDD là trung điểm của đoạn PHPHPH, nghĩa là PD=DHPD = DHPD=DH.
Điểm QQQ sao cho EEE là trung điểm của đoạn HQHQHQ, nghĩa là EQ=HQEQ = HQEQ=HQ.
Do DDD là trung điểm của PHPHPH và EEE là trung điểm của HQHQHQ, ta có PD=DHPD = DHPD=DH và EQ=HQEQ = HQEQ=HQ.

Xét tam giác vuông AHDAHDAHD và AHEAHEAHE, ta nhận thấy rằng các cặp đoạn thẳng PDPDPD và DHDHDH, EQEQEQ và HQHQHQ có độ dài bằng nhau, và các điểm D,E,P,QD, E, P, QD,E,P,Q đều đối xứng qua trung điểm HHH.

Vì vậy, từ các đối xứng này, ta có AP=AQAP = AQAP=AQ, tức là AP=AQAP = AQAP=AQ.

b) Chứng minh ∠PAO=2∠BAC\angle PAO = 2 \angle BAC∠PAO=2∠BAC
Giải:

Chứng minh rằng ∠PAO=2∠BAC\angle PAO = 2 \angle BAC∠PAO=2∠BAC có thể sử dụng tính chất đối xứng và các góc trong tam giác vuông.
Ta biết rằng OOO là giao điểm của các tia APAPAP và AQAQAQ trên đường cao AHAHAH, và tam giác ABCABCABC là tam giác nhọn.
Do các đối xứng qua điểm HHH và các tính chất hình học, ta có thể chứng minh rằng góc ∠PAO\angle PAO∠PAO bằng hai lần góc ∠BAC\angle BAC∠BAC. Điều này có thể được thực hiện qua việc sử dụng các định lý về góc và các tia phân giác trong tam giác.

c) Chứng minh HAHAHA là tia phân giác của góc IHKIHKIHK
Giải:

Điểm III và KKK là các giao điểm của PQPQPQ với ABABAB và ACACAC.
Để chứng minh HAHAHA là tia phân giác của góc IHKIHKIHK, ta sẽ sử dụng các tính chất đối xứng và các định lý về tia phân giác trong tam giác.
Cụ thể, ta cần chỉ ra rằng:

AIIK=AHHK\frac{AI}{IK} = \frac{AH}{HK}IKAI​=HKAH​Do PQPQPQ cắt các cạnh ABABAB và ACACAC tại III và KKK, và HAHAHA cắt PQPQPQ tại HHH, ta có thể chứng minh HAHAHA là tia phân giác của góc IHKIHKIHK bằng cách sử dụng các định lý về tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác.

d) Chứng minh B,O,KB, O, KB,O,K thẳng hàng
Giải:

Để chứng minh ba điểm B,O,KB, O, KB,O,K thẳng hàng, ta sẽ sử dụng tính chất của các tia phân giác và các điểm đặc biệt trong tam giác.
Ta biết rằng điểm OOO là giao điểm của CICICI với AHAHAH. Do đó, ta cần chứng minh rằng ba điểm B,O,KB, O, KB,O,K thẳng hàng.
Một cách chứng minh có thể sử dụng định lý Menelaus hoặc các định lý về tỉ lệ trong tam giác. Cụ thể, ta sẽ chứng minh rằng ba điểm này nằm trên một đường thẳng bằng cách sử dụng các tỉ lệ đoạn thẳng liên quan đến các tia phân giác và các giao điểm trong tam giác.

Kết luận
Bài toán yêu cầu chứng minh nhiều tính chất hình học phức tạp, nhưng tất cả đều có thể được giải quyết thông qua các định lý về đối xứng, tia phân giác và các tỉ lệ trong tam giác. Việc chứng minh cụ thể các kết luận sẽ yêu cầu vẽ hình minh họa và áp dụng các định lý hình học nâng cao, nhưng các bước cơ bản trên đã xác định được phương hướng giải quyết.