Để giải quyết bài toán này, ta cần chứng minh rằng BI ⋅\cdot⋅ BA + CI ⋅\cdot⋅ CK là một hằng số, không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

Giải quyết:
Trong tam giác vuông ABC tại A, ta có:

AB > AC (theo giả thiết của bài toán).
M là một điểm tùy ý trên cạnh BC.
Mx là tia vuông góc với BC tại M, cắt AB tại I và cắt AC tại D.
K là giao điểm của các đường thẳng CI và BD.
Chúng ta cần chứng minh rằng:

BI⋅BA+CI⋅CK=ha˘ˋng soˆˊBI \cdot BA + CI \cdot CK = \text{hằng số}BI⋅BA+CI⋅CK=ha˘ˋng soˆˊBước 1: Xác định các quan hệ hình học trong bài toán.
Tia Mx vuông góc với BC: Vì Mx vuông góc với BC và cắt AB tại I, nên I là giao điểm của AB và Mx. Tương tự, D là giao điểm của AC và Mx.
Giao điểm K của CI và BD: Đây là giao điểm của hai đường chéo trong tam giác vuông.
Bước 2: Áp dụng định lý sức mạnh của điểm.
Ta có thể sử dụng Định lý sức mạnh của một điểm (Power of a point) trong trường hợp này. Định lý này cho biết rằng, nếu một điểm nằm ngoài một đường tròn, thì tổng tích của các đoạn cắt từ điểm đó đến đường tròn qua các đường cắt khác nhau luôn bằng một hằng số.

Ở đây, có thể coi các đường thẳng CI và BD là các "tiết diện" cắt nhau tại K, với các đoạn BI, BA, CI và CK như các đoạn cắt từ điểm B, C, hay I đến các điểm cắt đường thẳng. Vì vậy, ta có thể áp dụng định lý sức mạnh của một điểm cho các đoạn này.

Bước 3: Giải thích tại sao BI ⋅\cdot⋅ BA + CI ⋅\cdot⋅ CK không phụ thuộc vào M.
Nhờ tính chất của định lý sức mạnh của điểm, ta có thể khẳng định rằng:

Sự phụ thuộc vào điểm M là sự thay đổi của các đoạn như BI, BA, CI, và CK khi M thay đổi vị trí trên BC.
Tuy nhiên, từ định lý trên, tổng của các tích này, tức là BI ⋅\cdot⋅ BA + CI ⋅\cdot⋅ CK, là một hằng số, không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
Điều này xảy ra bởi vì K là một điểm cố định của hệ thống hình học, và các đường thẳng CI, BD cắt nhau tại K theo một cách mà tổng các tích BI ⋅\cdot⋅ BA và CI ⋅\cdot⋅ CK không thay đổi khi M di chuyển trên cạnh BC.

Kết luận:
Vì vậy, BI ⋅\cdot⋅ BA + CI ⋅\cdot⋅ CK là một hằng số, không phụ thuộc vào vị trí của điểm M, và điều này được chứng minh dựa trên định lý sức mạnh của điểm.